《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

1.(多选)[2023·江苏南京大学附属中学高二期末]
已知函数$f(x)=x^{3}-ax + 1$的图像在$x = 2$处切线的斜率为9，则下列说法正确的是 (ABC)

A.$a = 3$
B.$f(x)$在$[ - 1,1]$上单调递减
C.$\lim{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = 0$
D.$f(x)$的图像关于原点中心对称

答案： 1.ABC 【解析】由题意，得$f^{\prime}(x)=3x^{2}-a$. 因为函数$f(x)$的图像在$x = 2$处切线的斜率为$9$，所以$f^{\prime}(2)=12 - a = 9$，解得$a = 3$，故 A 正确. 由于$f(x)=x^{3}-3x + 1$，$x\in\mathbf{R}$，则$f^{\prime}(x)=3x^{2}-3 = 3(x - 1)(x + 1)$. 令$f^{\prime}(x)\leq0$，得$-1\leq x\leq1$，所以$f(x)$
在$[-1,1]$上单调递减，故 B 正确.$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$
$f^{\prime}(1)=3×1^{2}-3 = 0$，故 C 正确. 由$f(x)=x^{3}-3x + 1$，$x\in\mathbf{R}$，得$f(-x)=-x^{3}+3x + 1$，所以$f(x)+f(-x)=2$，则$f(x)$的图像关于点$(0,1)$中心对称，故 D 不正确. 选 ABC.

2.(多选)[2023·山西太原高二期末]已知函数$f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - 3x + 1$，则下列说法正确的是 (AB)

A.$y = f(x)$有两个极值点
B.$y = f(x)$的极大值点为$x = - 1$
C.$y = f(x)$的极小值为$-9$
D.$y = f(x)$的最大值为$\frac{10}{3}$

答案： 2.AB 【解析】由题意，得函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f^{\prime}(x)=x^{2}-2x - 3=(x + 1)(x - 3)$. 由$f^{\prime}(x)＞0$，得$x ＜ -1$或$x ＞ 3$；由$f^{\prime}(x)＜0$，得$-1 ＜ x ＜ 3$. 所以函数$f(x)$在$(-\infty,-1)$，$(3,+\infty)$上单调递增，在$(-1,3)$上单调递减，所以函数$f(x)$有两个极值点$x = -1$，$x = 3$，且$x = -1$是$f(x)$的极大值点，极大值$f(-1)=\frac{8}{3}$，极小值$f(3)=-8$，故 A，B 正确，C 错误. 显然$f(6)=\frac{1}{3}×6^{3}-6^{2}-3×6 + 1=19＞\frac{10}{3}$，故 D 错误. 选 AB.

3.(多选)[2023·山东青岛第二中学高二期初考试]
已知函数$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx + a^{2}$在$x = 1$处取得极值10，则下列说法正确的是 (BC)

A.$a + b = 0$
B.$a + b = - 7$
C.$f(x)$一定有两个极值点
D.$f(x)$的单调递增区间是$\left( - \infty, - \frac{11}{3} \right\rbrack \cup [1, + \infty \right)$

答案： 3.BC 【解析】由题意，得$f^{\prime}(x)=3x^{2}+2ax + b$. 又$f(x)$在$x = 1$处取得极值$10$，所以$\begin{cases}f^{\prime}(1)=3 + 2a + b = 0,\\f(1)=1 + a + b + a^{2}=10,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 4,\\b=-11\end{cases}$或$\begin{cases}a=-3,\\b = 3.\end{cases}$当$a = 4$，$b=-11$时，$f^{\prime}(x)=3x^{2}+8x - 11=(3x + 11)(x - 1)$，则当$x\in\left(-\infty,-\frac{11}{3}\right)\cup(1,+\infty)$时，$f^{\prime}(x)＞0$；当$x\in\left(-\frac{11}{3},1\right)$时，$f^{\prime}(x)＜0$. 所以$f(x)$在$\left(-\infty,-\frac{11}{3}\right)$，$(1,+\infty)$上单调递增，在$\left(-\frac{11}{3},1\right)$上单调递减，所以$x = 1$是$f(x)$的极小值点，满足题意. 当$a=-3$，$b = 3$时，$f^{\prime}(x)=3x^{2}-6x + 3=3(x - 1)^{2}\geq0$，所以$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，不符合题意，舍去. 综上所述，$a = 4$，$b=-11$. 所以$a + b=4 - 11=-7$，故 A 错误，B 正确. 由上述分析知$x=-\frac{11}{3}$，$x = 1$分别为$f(x)$的极大值点、极小值点，$f(x)$的单调递增区间为$\left(-\infty,-\frac{11}{3}\right]$和$[1,+\infty)$，故 C 正确，D 错误. 选 BC.

4.[2023·河南大联考高二月考]若函数$f(x) = \frac{1}{3}ax^{3} - ax + 1$的图像经过四个象限，则实数$a$的取值范围是 (C)

A.$\left( - \frac{3}{2},\frac{3}{2} \right)$
B.$\left( - \frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)$
C.$\left( - \infty, - \frac{3}{2} \right) \cup \left( \frac{3}{2}, + \infty \right)$
D.$\left( - \infty, - \frac{1}{2} \right) \cup \left( \frac{1}{2}, + \infty \right)$

答案： 4.C 思维路径求导→分$a = 0$，$a＞0$与$a＜0$三种情况讨论结合函数的极值及函数图像的走势→得不等式→求出实数$a$的取值范围.
【解析】当$a = 0$时，$f(x)=1$的图像不经过第三、四象限，不合题意，舍去. 当$a\neq0$时，由题意得$f^{\prime}(x)=ax^{2}-a$. 令$f^{\prime}(x)=ax^{2}-a = 0$，得$x=\pm1$. 若$a＞0$，则当$x＜-1$或$x＞1$时，$f^{\prime}(x)＞0$，此时函数$f(x)$单调递增；当$-1＜x＜1$时，$f^{\prime}(x)＜0$，此时函数$f(x)$单调递减. 所以$f(x)$在$x = -1$处取得极大值，且极大值为$f(-1)=\frac{2}{3}a + 1$；$f(x)$在$x = 1$处取得极大值，且极大值为$f(1)=-\frac{2}{3}a + 1＞0$，故$f(x)$的图像经过第一象限. 此时函数$f(x)$的图像一定过第一、二、四象限，所以要想$f(x)$的图像经过第三象限，只需$f(-1)=\frac{2}{3}a + 1＜0$，解得$a＜-\frac{3}{2}$. 若$a＜0$，则当$x＜-1$或$x＞1$时，$f^{\prime}(x)＜0$，此时函数$f(x)$单调递减；当$-1＜x＜1$时，$f^{\prime}(x)＞0$，此时函数$f(x)$单调递增. 所以$f(x)$在$x = -1$处取得极小值，且极小值为$f(-1)=\frac{2}{3}a + 1$；$f(x)$在$x = 1$处取得极大值，且极大值为$f(1)=-\frac{2}{3}a + 1＞0$，故$f(x)$的图像经过第一象限. 此时函数$f(x)$的图像一定过第一、二、四象限，所以要想$f(x)$的图像经过第三象限，只需$f(-1)=\frac{2}{3}a + 1＜0$，解得$a＜-\frac{3}{2}$. 综上所述，实数$a$的取值范围是$\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$. 故选 C.

5.已知函数$f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - x + t$，给出以下说法：
①当$t \in \left( - \frac{2}{3}, + \infty \right)$时,$f(x)$有三个零点；
②过点$(0,0)$的直线与函数$f(x)$和$y = x^{2}$的图像都相切，则$t = \frac{2}{3}$；
③若$f(x)_{极大值} + f(x)_{极小值} = 2$，则$t = 1$；
④$g(x) = f(x) + x^{2} - t$的图像的对称中心为$\left( - 1,\frac{5}{3} \right)$.
其中说法正确的有$$③④$$(填写所有正确说法的序号).

答案： 5.③④ 【解析】由题意，得$f^{\prime}(x)=x^{2}-1$. 令$f^{\prime}(x)=0$，解得$x=-1$或$x = 1$，所以当$x$变化时，$f^{\prime}(x)$，$f(x)$的变化情况如下表.
$x$ $(-\infty,-1)$ $-1$ $(-1,1)$ $1$ $(1,+\infty)$
$f^{\prime}(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表知，当$x = -1$时，$f(x)$取得极大值，且极大值为$f(-1)=-\frac{1}{3}+1 + t=\frac{2}{3}+t$；当$x = 1$时，$f(x)$取得极小值，且极小值为$f(1)=\frac{1}{3}-1 + t=-\frac{2}{3}+t$.
对于①，当$t\in\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)$时，极大值$f(-1)=\frac{2}{3}+t＞0$，极小值$f(1)=-\frac{2}{3}+t＞-\frac{4}{3}$，结合$f(x)$的单调性可知，$f(x)$不一定有三个零点（如当$t = 1$时，极小值$f(1)=\frac{1}{3}＞0$，$f(x)$没有三个零点），故①错误.
对于②，设过点$(0,0)$的直线方程为$y = kx$，且该直线与函数$y = x^{2}$的图像切于点$(x_{1},x_{1}^{2})$，则$k = y^{\prime}\big|_{x = x_{1}}=2x_{1}$，所以切线方程为$y = 2x_{1}x$. 因为点$(x_{1},x_{1}^{2})$在切线$y = 2x_{1}x$上，所以$x_{1}^{2}=2x_{1}x_{1}$，解得$x_{1}=0$. 所以切线方程为$y = 0$. 由①的判断过程知，当$x=-1$或$x = 1$时，$f^{\prime}(x)=0$，即$f(-1)=\frac{2}{3}+t=0$或$f(1)=-\frac{2}{3}+t=0$，即$t=-\frac{2}{3}$或$t=\frac{2}{3}$时，切线$y = 0$与函数$f(x)$的图像相切，故②错误.
对于③，由①的判断过程知，$f(1)+f(-1)=-\frac{2}{3}+t+\frac{2}{3}+t=2t$，所以若$f(x)$极大值$+f(x)$极小值$=2$，则$2t = 2$，解得$t = 1$，故③正确.
对于④，$g(x)=f(x)+x^{2}-t=\frac{1}{3}x^{3}-x + t+x^{2}-t=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}-x$，所以$g(-1 - x)=\frac{1}{3}(-1 - x)^{3}+(-1 - x)^{2}-(-1 - x)=-\frac{1}{3}x^{3}+2x + \frac{5}{3}$，$g(-1 + x)=\frac{1}{3}(-1 + x)^{3}+(-1 + x)^{2}-(-1 + x)=-\frac{1}{3}x^{3}-2x + \frac{5}{3}$，所以$g(-1 - x)+g(-1 + x)=2×\frac{5}{3}$，所以$g(x)$的图像关于点$\left(-1,\frac{5}{3}\right)$对称，故④正确.

6.(多选)[2023·湖南长沙雅礼教育集团高二期末]
过下列哪些点恰可以作函数$f(x) = 2x^{3} - 3x$图像的两条切线 (AC)

A.$(-2,-10)$
B.$(-2,3)$
C.$(-2,6)$
D.$(-2,8)$

答案： 6.AC 【解析】由题意，得$f^{\prime}(x)=6x^{2}-3$. 设切点为$(x_{0},2x_{0}^{3}-3x_{0})$（对于切线问题，若不知道切点要先设出切点），则$f^{\prime}(x_{0})=6x_{0}^{2}-3$.
对于 A，因为$f(-2)=-10$，所以点$(-2,-10)$在函数$f(x)=2x^{3}-3x$的图像上. 当点$(-2,-10)$为切点时，有一条切线；当点$(-2,-10)$不为切点时，由$f^{\prime}(x_{0})=6x_{0}^{2}-3=-\10-(2x_{0}^{3}-3x_{0})}{-2 - x_{0}}$，得$x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}-4 = 0$，解得$x_{0}=-2$（舍去）或$x_{0}=1$. 此时切线方程为$y + 10=3(x + 2)$，即$3x - y - 4 = 0$. 所以过点$(-2,-10)$可作函数$f(x)$的图像的两条切线，故 A 符合题意.
对于 B，当切线经过点$(-2,3)$时，可得$f^{\prime}(x_{0})=6x_{0}^{2}-3=\frac{3-(2x_{0}^{3}-3x_{0})}{-2 - x_{0}}$，整理，得$4x_{0}^{3}+12x_{0}^{2}-3 = 0$. 设$h(x)=4x^{3}+12x^{2}-3$，则$h^{\prime}(x)=12x^{2}+24x=12x(x + 2)$，所以当$x＜-2$或$x＞0$时，$h^{\prime}(x)＞0$，$h(x)$单调递增；当$-2＜x＜0$时，$h^{\prime}(x)＜0$，$h(x)$单调递减. 又$h(-2)=13$，$h(0)=-3$，所以函数$h(x)$有三个零点，故方程$4x_{0}^{3}+12x_{0}^{2}-3 = 0$有三个解（通过切点个数判断切线条数），所以过点$(-2,3)$可作函数$f(x)$图像的三条切线，故 B 不符合题意.
对于 C，由$f^{\prime}(x_{0})=6x_{0}^{2}-3=\frac{6-(2x_{0}^{3}-3x_{0})}{-2 - x_{0}}$，得$4x_{0}^{3}+12x_{0}^{2}=0$，解得$x_{0}=0$或$x_{0}=-3$. 此时过点$(-2,6)$恰可以作函数$f(x)$的图像的两条切线，故 C 符合题意.
对于 D，由$f^{\prime}(x_{0})=6x_{0}^{2}-3=\frac{8-(2x_{0}^{3}-3x_{0})}{-2 - x_{0}}$，得$2x_{0}^{3}+6x_{0}^{2}+1 = 0$. 令$g(x)=2x^{3}+6x^{2}+1$，则$g^{\prime}(x)=6x^{2}+12x=6x(x + 2)$. 当$x＜-2$或$x＞0$时，$g^{\prime}(x)＞0$，$g(x)$单调递增；当$-2＜x＜0$时，$g^{\prime}(x)＜0$，$g(x)$单调递减. 又$g(-2)=9$，$g(0)=1$，所以$g(x)$有一个零点，所以方程$2x_{0}^{3}+6x_{0}^{2}+1 = 0$有一个解，所以过点$(-2,8)$可作函数$f(x)$图像的一条切线，故 D 不符合题意. 选 AC.

7.已知三次函数$f(x) = \frac{1}{3}ax^{3} + \frac{1}{2}(2a - 1)x^{2} - 2x - \frac{1}{2}$.
(1)当$a = 3$时,求曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程;
(2)讨论$y = f(x)$的单调性.

答案： 7.【解】
(1)当$a = 3$时，$f(x)=x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-2x-\frac{1}{2}$，
则$f^{\prime}(x)=3x^{2}+5x - 2$，
所以曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线斜率为$f^{\prime}(1)=6$.
又$f(1)=1+\frac{5}{2}-2-\frac{1}{2}=1$，
所以曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y = 6(x - 1)+1$，即$6x - y - 5 = 0$.
(2)由题意，得$f^{\prime}(x)=ax^{2}+(2a - 1)x - 2=(ax - 1)(x + 2)$.
若$a = 0$，则由$f^{\prime}(x)=-(x + 2)=0$，得$x=-2$.
当$x\in(-\infty,-2)$时，$f^{\prime}(x)＞0$，此时函数$f(x)$单调递增；
当$x\in(-2,+\infty)$时，$f^{\prime}(x)＜0$，此时函数$f(x)$单调递减.
若$a＞0$，则令$f^{\prime}(x)=(ax - 1)(x + 2)=0$，得$x=\frac{1}{a}$或$x=-2$.
所以$f(x)$在$(-\infty,-2)$，$\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$上单调递增，在$\left(-2,\frac{1}{a}\right)$上单调递减.
若$a＜0$，则当$-\frac{1}{2}＜a＜0$时，$f(x)$在$\left(-\infty,\frac{1}{a}\right)$，$(-2,+\infty)$上单调递减，在$\left(\frac{1}{a},-2\right)$上单调递增；
当$a=-\frac{1}{2}$时，$f^{\prime}(x)\leq0$，此时$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减；
当$a＜-\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$(-\infty,-2)$，$\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$上单调递减，在$\left(-2,\frac{1}{a}\right)$上单调递增.
综上所述，当$a = 0$时，$f(x)$在$(-\infty,-2)$上单调递增，在$(-2,+\infty)$上单调递减；
当$a＞0$时，$f(x)$在$(-\infty,-2)$，$\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$上单调递增，在$\left(-2,\frac{1}{a}\right)$上单调递减；
当$a=-\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减；
当$-\frac{1}{2}＜a＜0$时，$f(x)$在$\left(-\infty,\frac{1}{a}\right)$，$(-2,+\infty)$上单调递减，在$\left(\frac{1}{a},-2\right)$上单调递增；
当$a＜-\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$(-\infty,-2)$，$\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$上单调递减，在$\left(-2,\frac{1}{a}\right)$上单调递增.