《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2022·河北石家庄高二期末]使函数$f(x)=x+\sqrt{2}\cos x$在$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上取得最大值的$x$为 (B)
A.$0$
B.$\frac{\pi}{4}$
C.$\frac{\pi}{3}$
D.$\frac{\pi}{2}$

答案： 1.B【解析】由题意，得$f'(x)=1-\sqrt{2}\sin x$.令$f'(x)＞0$，得$\sin x＜\frac{\sqrt{2}}{2}$.因为$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$，所以当$f'(x)＞0$时，$x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right)$.令$f'(x)＜0$，得$\sin x＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$x\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$.所以$f(x)$在$\left[0,\frac{\pi}{4}\right)$上单调递增，在$\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$上单调递减，所以使$f(x)$在$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上取得最大值的$x$为$\frac{\pi}{4}$(该值也叫做函数的最值点).故选B.

2. (多选)[2023·福建南平高二期末]若函数$f(x)=\mathrm{e}^{x}-2x+3$,则 (CD)
A. 函数$f(x)$只有极大值没有极小值
B. 函数$f(x)$只有最大值没有最小值
C. 函数$f(x)$只有极小值没有极大值
D. 函数$f(x)$只有最小值没有最大值

答案： 2.CD【解析】由题意得$f'(x)=e^x-2$.令$f'(x)=0$，得$x=\ln2$.则当$x\in(-\infty,\ln2)$时，$f'(x)＜0$，此时$f(x)$单调递减；当$x\in(\ln2,+\infty)$时，$f'(x)＞0$，此时$f(x)$单调递增.所以函数$f(x)$有唯一极小值，也是最小值，没有极大值和最大值.故选CD.
方法总结 当函数在某区间上有唯一极值时，该极值也是最值.

3. [2023·陕西汉中兴华中学、镇巴中学高二期中联考]设$f'(x)$是函数$f(x)$的导函数,$y=f'(x)$的图像如图,则下列说法正确的序号是(2)(3).

(1) 函数$f(x)$一定有$3$个零点;
(2) 函数$f(x)$一定有$3$个极值点;
(3) 函数$f(x)$有最小值;
(4) 函数$f(x)$有最大值;
(5) 函数$f(x)$的图像一定经过原点.
题型 2 求函数的最值

答案： 3.
(2)
(3)【解析】根据题图知，当$x\in(-\infty,0)$时，$f'(x)＜0$，此时函数$f(x)$单调递减；当$x\in(0,1)$时，$f'(x)＞0$，此时函数$f(x)$单调递增；当$x\in(1,2)$时，$f'(x)＜0$，此时函数$f(x)$单调递减；当$x\in(2,+\infty)$时，$f'(x)＞0$，此时函数$f(x)$单调递增.所以$x=0,x=1,x=2$均是函数$f(x)$的极值点，故
(2)正确.函数$f(x)$的图像可能都在$x$轴上方，其零点个数可能是0，故
(1)错误.函数$f(x)$的图像不一定经过原点，故
(5)错误.由定义可知，$x=0$和$x=2$都是函数$f(x)$的极小值点，所以$f(0),f(2)$都是函数$f(x)$的极小值，因此函数有最小值，且为$f(0),f(2)$中的较小者，无最大值，所以
(3)正确，
(4)错误.

4. 函数$f(x)=\ln x+\frac{1}{2x^{2}}+3$的最小值是 (C)

A.$\frac{9}{2}$
B.$4$
C.$\frac{7}{2}$
D.$3$

答案： 4.C【解析】由题意得$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}=\frac{x^2-1}{x^3}(x＞0)$.令$f'(x)＞0$，得$x＞1$；令$f'(x)＜0$，得$0＜x＜1$.则$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增，故$f(x)$的最小值是$f(1)=\frac{7}{2}$(利用导数讨论函数的单调性，确定函数的极值，验证是否为最值).故选C.

5. [2023·河南大联考高二阶段性测试]函数$f(x)=x-3x^{3},x\in[0,1]$的最大值是 (B)

A.$-\frac{2}{9}$
B.$\frac{2}{9}$
C.$0$
D.$1$

答案： 5.B【解析】由题意得$f'(x)=1-9x^2(0\leqslant x\leqslant1)$.当$x\in\left[0,\frac{1}{3}\right)$时，$f'(x)＞0$，此时$f(x)$单调递增；当$x\in\left(\frac{1}{3},1\right]$时，$f'(x)＜0$，此时$f(x)$单调递减.故当$x=\frac{1}{3}$时，$f(x)$取得极大值，也是最大值(此题若求闭区间上函数的最小值，要注意端点值)，且最大值为$f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}-3×\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$.故选B.

6. [2023·浙江杭州之江高级中学高二期中]函数$f(x)=x\ln x$在$(0,\mathrm{e}]$上的最小值是$-\frac{1}{e}$.

答案： 6.$-\frac{1}{e}$【解析】由题意得$f'(x)=\ln x+1$.因为$0＜x\leqslant e$，所以令$f'(x)＞0$，得$\frac{1}{e}＜x\leqslant e$；令$f'(x)＜0$，得$0＜x＜\frac{1}{e}$.所以$f(x)=x\ln x$在$\left(0,\frac{1}{e}\right)$上单调递减，在$\left(\frac{1}{e},e\right]$上单调递增，所以$f(x)=x\ln x$在$(0,e]$上的最小值是$f\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e}$.

7. [2023·陕西咸阳高二期末]已知函数$f(x)=-x^{3}+ax^{2}+bx-5$在$x=-1$处有极值$-1$.
(1)求实数$a,b$的值;
(2)求函数$f(x)$在$[-4,2]$上的最值.

答案： 7.思维路径
(1)求出函数的导数→根据题意列出方程组→求得$a,b$的值.
(2)求出函数的极值点→求得函数的极值以及区间端点处的函数值→比较可得函数的最值.
【解】
(1)由题意，得$f'(x)=-3x^2+2ax+b$.
∵函数$f(x)$在$x=-1$处有极值$-1$，
∴$\begin{cases}f(-1)=a-b-4=-1,\\f'(-1)=-2a+b-3=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-6,\\b=-9.\end{cases}$
∴$f'(x)=-3x^2-12x-9=-3(x+1)(x+3)$.
若$f'(x)＞0$，则$-3＜x＜-1$；若$f'(x)＜0$，则$x＜-3$或$x＞-1$.
∴函数$f(x)$在$x=-1$处有极大值，且极大值为$-1$，符合题意，
故$a=-6,b=-9$.
(2)由
(1)知$f(x)=-x^3-6x^2-9x-5$，
∴$f'(x)=-3x^2-12x-9=-3(x+1)(x+3)$.
若$f'(x)＞0$，则$-3＜x＜-1$；若$f'(x)＜0$，则$x＜-3$或$x＞-1$.
又
∵$-4\leqslant x\leqslant2$，
∴$f(x)$在$(-3,-1)$上单调递增，在$[-4,-3),(-1,2]$上单调递减.
又$f(-4)=-5,f(-3)=-5,f(-1)=-1,f(2)=-55$，
∴$f(x)_{max}=-1,f(x)_{min}=-55$.

8. [2022·北京高二期中]函数$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}$在区间$(a,a+5)$内存在最小值,则实数$a$的取值范围是 (C)

A.$(-3,2)$
B.$[-3,2)$
C.$[-1,2)$
D.$(-1,2)$

答案：
8.C【解析】由题意得$f'(x)=x^2-2x$.令$f'(x)=0$，得$x_1=0$，$x_2=2$，则当$x\in(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$时，$f'(x)＞0$，此时$f(x)$单调递增；当$x\in(0,2)$时，$f'(x)＜0$，此时$f(x)$单调递减.
易得$f(-1)=-\frac{4}{3},f(0)=0,f(2)=-\frac{4}{3}$.作出$f(x)$的大致图像,如图.因为$f(x)$在区间$(a,a+5)$内存在最小值(注意区间为开区间，端点值取不到，可转化为该区间内的极小值点就是最小值点)，所以最小值为$f(2)$.又$f(-1)=f(2)$，所以$\begin{cases}-1\leqslant a＜2,\\a+5＞2,\end{cases}$解得$-1\leqslant a＜2$.故选C.

9. (多选)[2023·山西大同一中高二期末]已知函数$f(x)=ax^{4}-4ax^{3}+b,x\in[1,4],f(x)$的最大值为$3$,最小值为$-6$,则$a+b$的值可能为 (AC)

A.$-\frac{19}{3}$
B.$-\frac{10}{3}$
C.$\frac{10}{3}$
D.$\frac{19}{3}$

答案： 9.AC【解析】由题意得$f'(x)=4ax^2(x-3),1\leqslant x\leqslant4$.当$a=0$时(注意讨论参数$a$)，$f(x)=b$，显然不合题意，舍去；当$a＞0$时，令$f'(x)＞0$，得$x＞3$.又$1\leqslant x\leqslant4$，所以$3＜x\leqslant4$.令$f'(x)＜0$，得$x＜3$.又$1\leqslant x\leqslant4$，所以$1\leqslant x＜3$.故$f(x)$在$(3,4]$上单调递增，在$[1,3)$上单调递减，且$f(3)=b-27a$，$f(1)=b-3a,f(4)=b$，即$f(1)＜f(4)$，故$\begin{cases}b-27a=-6,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{3},\\b=3,\end{cases}$则$a+b=\frac{10}{3}$.当$a＜0$时，令$f'(x)＞0$，得$x＜3$.又$1\leqslant x\leqslant4$，所以$1\leqslant x＜3$.令$f'(x)＜0$，得$x＞3$.又$1\leqslant x\leqslant4$，所以$3＜x\leqslant4$.故$f(x)$在$[1,3)$上单调递增，在$(3,4]$上单调递减，且$f(3)=b-27a,f(1)=b-3a,f(4)=b$，即$f(1)＞f(4)$，故$\begin{cases}b-27a=3,\\b=-6,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{3},\\b=-6,\end{cases}$则$a+b=-\frac{19}{3}$.综上所述，$a+b=\frac{10}{3}$或$a+b=-\frac{19}{3}$.故选AC.

10. [2023·江苏南京第一中学高二月考]已知函数$f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+3x+a$.
(1)求$f(x)$的单调区间;
(2)若$f(x)$在区间$[-3,3]$上的最小值为$\frac{7}{3}$,求$a$的值.

答案： 10.思维路径
(1)求出导数→令$f'(x)＞0,f'(x)＜0$，分别解不等式→求出函数的单调区间.
(2)求得$f(x)$在区间$[-3,3]$内的单调区间→求得极值→求出端点处的函数值→比较得函数的最小值→解方程求得$a$的值.
【解】
(1)由题意，得$f'(x)=-x^2+2x+3$.
令$f'(x)＞0$，得$-1＜x＜3$；令$f'(x)＜0$，得$x＜-1$或$x＞3$.
所以$f(x)$的单调递减区间为$(-\infty,-1)$和$(3,+\infty)$，单调递增区间为$(-1,3)$.
(2)结合
(1)知，当$x$在区间$[-3,3]$内变化时，$f'(x),f(x)$的变化情况如下表.
$x$ $-3$ $(-3,-1)$ $-1$ $(-1,3)$ $3$
$f'(x)$ $-$ $-$ $0$ $+$ $0$
$f(x)$ $f(-3)$ 单调递减 极小值 单调递增 $f(3)$
所以函数$f(x)$在$(-3,-1)$上单调递减，在$(-1,3)$上单调递增.
所以$f(x)\geqslant f(-1)$，所以$f(x)$的最小值为$f(-1)=\frac{1}{3}+1-3+a=\frac{7}{3}$，解得$a=4$.