《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

一 单元大挑战
导数，也叫做导函数值. 又名微商，是微积分中的重要基础概念. 导数是函数的局部性质，一个函数在某一点处的导数描述了这个函数在这一点附近的平均变化率. 导数可以解决生活中的利润最大，面积、体积最大，成本最低，用料最省等问题. 阅读下列材料并回答问题.
从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来都是广大人民的共同心声. 现有一块不规则的地，其平面图形如图(1)，$AC = 8$（百 m），建立如图(2)的平面直角坐标系，将曲线$AB$看成函数$f(x)=k\sqrt{x}$图像的一部分，$BC$为一次函数图像的一部分. 若在此块地上建立一座图书馆，平面图为直角梯形$CDEF$.

(1) 若已知点$E$的横坐标为$1.21$，则函数$f(x)=k\sqrt{x}$的函数值从点$A$到点$E$的平均变化率是多少（精确到$0.1$）？
(2) 试分析曲线段$AB$上是否存在一点，使在该点处的曲线$AB$的切线与直线$BC$垂直；
(3) 试求图书馆占地面积（单位：万$m^2$）的最大值.

答案：
(1)1.8；
(2)存在；
(3)352/27