《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2023·山东潍坊高二测试]已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，且 $a_{5}=9$，$S_{5}=25$，则数列$\{ a_{n}\}$的公差为
(D)

A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.1
D.2

答案： 1.D【解析】在等差数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{5} = 9$,$S_{5} = \frac{a_{1} + a_{5}}{2} × 5 = 25$,解得$a_{1} = 1$,所以数列$\{ a_{n}\}$的公差$d = \frac{a_{5} - a_{1}}{5 - 1} = 2$.故选D.
方法总结
五个量$a_{1},d,n,a_{n},S_{n}$中可知三求二,一般列方程或方程组求解.

2. [2022·四川巴中通江中学高二期中]在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{5}=6$，则数列的前 9 项和 $S_{9}=$ (A)

A.54
B.27
C.36
D.24

答案： 2.A【解析】$S_{9} = \frac{9(a_{1} + a_{9})}{2} = \frac{9 × 2a_{5}}{2} = 9a_{5} = 54$(利用等差中项简化计算).故选A.

3. 已知一个等差数列的前 10 项的和是 110，前 20 项的和是 20，求此等差数列的前 $n$ 项和 $S_{n}$，并求出当 $n$ 为何值时，$S_{n}$ 最大，最大值是多少?

答案： 3.思维路径利用等差数列的前n项和公式列出关于首项与公差的方程→解得首项与公差→把首项和公差代入求和公式得到$S_{n}$.关于n的二次函数→根据二次函数求最值的方法即可得到$S_{n}$的最大值以及此时n的值.
【解】设等差数列的首项为$a_{1}$,公差为$d$,则$\begin{cases} S_{10} = 10a_{1} + 45d = 110, \\ S_{20} = 20a_{1} + 190d = 20, \end{cases}$解得$\begin{cases} a_{1} = 20, \\ d = - 2, \end{cases}$所以$S_{n} = - n^{2} + 21n$.
又$S_{n} = - n^{2} + 21n = - (n - \frac{21}{2})^{2} + \frac{441}{4},n \in \mathbf{N}^{*}$,
所以当$n = 10$或$n = 11$时,$S_{n}$最大,且最大值为$S_{10} = S_{11} = 110$.

4. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{2}+a_{4}+a_{10}+a_{12}=40$，则前 13 项和 $S_{13}=$ (B)

A.133
B.130
C.125
D.120

答案： 4.B 思维路径根据等差数列下标和性质求出$a_{1} + a_{13}$→根据等差数列求和公式计算可得.
【解析】因为$a_{2} + a_{4} + a_{10} + a_{12} = 40$,且$a_{4} + a_{10} = a_{2} + a_{12} = a_{1} + a_{13}$,所以$a_{1} + a_{13} = 20$,所以$S_{13} = \frac{13(a_{1} + a_{13})}{2} = \frac{13 × 20}{2} = 130$.
故选B.

5. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{5}-a_{3}=a_{7}-10$，则$\{ a_{n}\}$的前 9 项和为 (C)

A.-180
B.-90
C.90
D.180

答案： 5.C【解析】因为$a_{5} - a_{3} = a_{7} - 10$,所以$a_{5} + 10 = a_{7} + a_{3}$.又$a_{7} + a_{3} = 2a_{5}$,所以$a_{5} = 10$,所以$S_{9} = \frac{9(a_{1} + a_{9})}{2} = \frac{9 × 2a_{5}}{2} = 9a_{5} = 90$.故选C.

6. [2023·河南郑州第二高级中学高二月考]在数列$\{ a_{n}\}$中，已知 $a_{1}=1$ 且 $a_{n + 1}+a_{n}=2n$，则其前 29 项和 $S_{29}$ 的值为 (C)

A.56
B.365
C.421
D.666

答案： 6.C 思维路径将$S_{29}$展开→根据题中递推公式进行分组求和→利用等差数列前n项和公式求解.
【解析】$S_{29} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + ·s + a_{27} + a_{28} + a_{29} = a_{1} + (a_{2} + a_{3}) + (a_{4} + a_{5}) + ·s + (a_{26} + a_{27}) + (a_{28} + a_{29}) = 1 + 2 × 2 + 2 × 4 + ·s + 2 × 26 + 2 × 28 = 1 + 2 × (2 + 4 + ·s + 26 + 28) = 421$.故选C.

7. [2023·北京十二中联合总校高二期末]已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 若 $a_{3}=2$，且 $S_{4}=S_{7}$，则使 $S_{n} \geqslant 0$ 成立的 $n$ 的最大值是 (D)

A.5
B.6
C.10
D.11

答案： 7.D 思维路径设出公差,根据题意求出数列$\{ a_{n}\}$的通项公式→求出$S_{n}$→令$S_{n} \geqslant 0$,解出n的取值范围.
【解析】设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$.因为$S_{4} = S_{7}$,所以$S_{7} - S_{4} = a_{5} + a_{6} + a_{7} = 3a_{6} = 0$,即$a_{6} = 0$.由$\begin{cases} a_{6} = a_{3} + 3d = 0, \\ a_{3} = 2, \end{cases}$可得$d = - \frac{2}{3}$,所以$a_{n} = 4 - \frac{2}{3}n$,则$S_{n} = - \frac{1}{3}n^{2} + \frac{11}{3}n$.令$S_{n} = - \frac{1}{3}n^{2} + \frac{11}{3}n \geqslant 0$,即$n^{2} - 11n \leqslant 0$,解得$1 \leqslant n \leqslant 11$.故选D.

8. (多选)[2023·福建莆田第一中学高二期中]设数列$\{ a_{n}\}$是以 $d$ 为公差的等差数列，$S_{n}$ 是其前 $n$ 项和，$a_{1}＞0$，且 $S_{6}=S_{9}$，则下列结论正确的是(BD)

A.$d＞0$
B.$a_{8}=0$
C.$S_{5}＞S_{6}$
D.$S_{7}$，$S_{8}$ 均为 $S_{n}$ 的最大值

答案： 8.BD【解析】由$S_{6} = S_{9}$,即$6a_{1} + \frac{6 × 5}{2}d = 9a_{1} + \frac{9 × 8}{2}d$,得$a_{1} = - 7d$.又$a_{1} ＞ 0$,所以$d ＜ 0$,A错误.$a_{8} = a_{1} + 7d = 0$,B正确.因为$S_{n} = na_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2} = \frac{dn^{2} - 15dn}{2}$,所以$S_{5} = - 25d ＜ S_{6} = - 27d$,C错误.由二次函数的性质易知,$S_{7} = S_{8}$为$S_{n}$的最大值,D正确.故选BD.
方法总结 在等差数列中,求$S_{n}$的最大(小)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点,则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值.
(2)借助二次函数的图像及性质求最值.

9. [2022·贵州六盘水第五中学高二期末]已知等差数列$\{ a_{n}\}$满足 $a_{1}=5$，公差 $d = -2$，则当$\{ a_{n}\}$的前 $n$ 项和最大时，$n=$3.

答案： 9.3【解析】因为$a_{1} = 5$,$d = - 2$,所以$S_{n} = \frac{d}{2}n^{2} + (a_{1} - \frac{d}{2})n = - n^{2} + 6n$(根据公式求出前n项和,再利用二次函数的性质求解),所以当$n = 3$时,$S_{n}$取得最大值.

10. [2023·广东佛山高二期末]某体育场的看台有 20 排，共 680 个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多两个座位，则该看台第一排的座位数为 (A)

A.15
B.16
C.17
D.18

答案： 10.A【解析】设第n排的座位数为$a_{n}$,则$a_{20} = a_{1} + 19 × 2 = a_{1} + 38$,所以$\frac{20 × (2a_{1} + 38)}{2} = 680$,解得$a_{1} = 15$.故选A.

11. 5G 基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至 2021 年 7 月底，A 地区已经累计开通 5G 基站 300 个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进 5G 网络建设. 已知 2021 年 8 月该地区计划新建 50 个 5G 基站，以后每个月比上一个月多建 40 个，预计 A 地区累计开通 6 640 个 5G 基站要到 (B)

A.2022 年 10 月底
B.2022 年 9 月底
C.2022 年 8 月底
D.2022 年 7 月底

答案： 11.B【解析】由题意得,2021年8月及之后该地区每个月建设的5G基站数量为等差数列,且公差为40.设累计开通4640个5G基站要$k(k \in \mathbf{N}^{*})$个月,则$50k + \frac{k(k - 1)}{2} · 40 = 4640 - 300$,解得$k = 14$.所以预计A地区累计开通4640个5G基站要到2022年9月底.故选B.