《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2023·天津第四十二中学高二期末] 我们常用函数$y = f(x)$的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量$x$由$x_0$变化到$x_0 + \Delta x$时，函数值的改变量$\Delta y =$ (D)

A.$f(x_0 + \Delta x)$
B.$f(x_0) + \Delta x$
C.$f(x_0) · \Delta x$
D.$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

答案： 1.D 【解析】由题意知,当$x = x_0$时,$y = f(x_0)$;当$x = x_0 + \Delta x$时,$y = f(x_0 + \Delta x)$.故$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$（求函数值的改变量的关键是确定自变量的改变量）.故选D.

2. [2023·江苏南京天印高级中学高二期初考试] 函数$f(x) = x^2 - 7x$在区间$[1, 2]$上的平均变化率为 (A)

A.$-4$
B.4
C.$-6$
D.6

答案： 2.A 【解析】$\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{(2^2 - 7 × 2) - (1^2 - 7 × 1)}{1} = \frac{-4}{1} = -4$（平均变化率与平均速度对应的公式一致）.故选A.

3. 函数$f(x) = 2x^2 - 1$在区间$[1, 1 + \Delta x]$上的平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x}$等于 (B)

A.4
B.$4 + 2\Delta x$
C.$4 + 2(\Delta x)^2$
D.$4x$

答案： 3.B 【解析】$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \frac{2(1 + \Delta x)^2 - 1 - (2 × 1^2 - 1)}{\Delta x} = 4 + 2\Delta x$.故选B.

4. [2023·山东聊城高唐第一中学高二月考] 如图，函数$y = f(x)$在$[x_1, x_2]$，$[x_2, x_3]$，$[x_3, x_4]$这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是 (D)


A.$[x_1, x_2]$
B.$[x_2, x_3]$
C.$[x_1, x_3]$
D.$[x_3, x_4]$

答案： 4.D 【解析】由函数$f(x)$平均变化率的计算公式,可得函数$f(x)$在$[x_1, x_2]$上的平均变化率$P_1 = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} ＞ 0$（函数$f(x)$在区间$[x_1, x_2]$上的平均变化率,就是对应割线的斜率）,函数$f(x)$在$[x_2, x_3]$上的平均变化率$P_2 = \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2} ＜ 0$,函数$f(x)$在$[x_1, x_3]$上的平均变化率$P_3 = \frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1} ＜ 0$,函数$f(x)$在$[x_3, x_4]$上的平均变化率$P_4 = \frac{f(x_4) - f(x_3)}{x_4 - x_3} ＞ 0$.结合题图,可得$P_2 ＜ P_3 ＜ 0 ＜ P_1 ＜ P_4$.故选D.

5. [2023·北京十一中高二期末] 若函数$f(x) = x^2$在区间$[0, 2]$上的平均变化率等于在$x = m$处的瞬时变化率，则$m =$ (B)

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.2
D.$\frac{3}{2}$

答案： 5.B 【解析】函数$f(x) = x^2$在区间$[0, 2]$上的平均变化率为$\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2$,$f(x) = x^2$在$x = m$处的瞬时变化率为$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(m + \Delta x) - f(m)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(m + \Delta x)^2 - m^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x + 2m) = 2m$,所以$2 = 2m$,解得$m = 1$.故选B.

6. 已知某容器的高度为$20 cm$，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度$h$(单位：$cm$)与时间$t$(单位：$s$)的函数关系为$h = \frac{1}{3}t^3 + t^2$，当$t = t_0$时，液体上升高度的瞬时变化率为$3 cm/s$，则当$t = t_0 + 1$时，液体上升高度的瞬时变化率为 (C)

A.$5 cm/s$
B.$6 cm/s$
C.$8 cm/s$
D.$10 cm/s$

答案： 6.C 【解析】因为当$t = t_0$时,液体上升高度的瞬时变化率为$3cm/s$,所以$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{h(t_0 + \Delta t) - h(t_0)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\frac{1}{3}(t_0 + \Delta t)^3 + (t_0 + \Delta t)^2 - (\frac{1}{3}t_0^3 + t_0^2)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (\frac{1}{3} \Delta t^2 + t_0 \Delta t + t_0^2 + 2t_0 + \Delta t) = t_0^2 + 2t_0 = 3$,解得$t_0 = 1$或$t_0 = -3$（舍去）.所以当$t = t_0 + 1 = 2$时,液体上升高度的瞬时变化率为$2^2 + 2 × 2 = 8(cm/s)$.故选C.

7. [2022·北京东城高二期末] 设函数$f(x) = x$，$g(x) = \sqrt{x}$，$h(x) = x^3$，当自变量$x$从$0$变到$1$时，它们的平均变化率分别记为$m_1$，$m_2$，$m_3$，则$m_1$，$m_2$，$m_3$之间的大小关系为$m_1 = m_2 = m_3$(用“$＞$”“$＜$”或“$=$”连接)；三个函数中在$x = 1$处的瞬时变化率最大的是$h(x)=x^3$.

答案： 7.$m_1 = m_2 = m_3$ $h(x) = x^3$ 【解析】由题意,得$m_1 = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1$,$m_2 = \frac{g(1) - g(0)}{1 - 0} = \frac{\sqrt{1} - 0}{1 - 0} = 1$,$m_3 = \frac{h(1) - h(0)}{1 - 0} = \frac{1^3 - 0}{1 - 0} = 1$,故$m_1 = m_2 = m_3$.因为$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x + \Delta x - x}{\Delta x} = 1$,$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$,$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^3 - x^3}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} [3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2] = 3x^2$,所以函数$f(x),g(x),h(x)$在$x = 1$处的瞬时变化率分别为$1,\frac{1}{2},3$,故三个函数中在$x = 1$处的瞬时变化率最大的是$h(x) = x^3$.

8. [2023·江苏盐城中学高二期末] 已知$f(x) = x^3$，则$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(-1 + \Delta x) - f(-1)}{\Delta x} =$ (D)

A.0
B.$-3$
C.2
D.3

答案： 8.D 【解析】由导数的定义可得$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(-1 + \Delta x) - f(-1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(-1 + \Delta x)^3 - (-1)^3}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x^2 - 3\Delta x + 3) = 3$.故选D.

9. [2023·湖北武汉部分重点中学高二期末] 已知函数$f(x)$可导，且满足$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(3 - \Delta x) - f(3)}{\Delta x} = 2$，则函数$y = f(x)$在$x = 3$处的导数为 (D)

A.2
B.1
C.$-1$
D.$-2$

答案： 9.D 【解析】由题意,得$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(3 - \Delta x) - f(3)}{\Delta x} = -\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(3 - \Delta x) - f(3)}{-\Delta x} = -f'(3) = 2$（熟记某点处的导数公式,通过变形使形式上保持一致）,所以$f'(3) = -2$.故选D.

10. [2023·陕西部分名校高二期末] 设$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(3 + \Delta x) - f(3 - \Delta x)}{\Delta x} = -6$，则$f^\prime(3) =$ (B)

A.$-12$
B.$-3$
C.3
D.12

答案： 10.B 【解析】因为$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(3 + \Delta x) - f(3 - \Delta x)}{\Delta x} = 2\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(3 + \Delta x) - f(3 - \Delta x)}{2\Delta x} = 2f'(3) = -6$,所以$f'(3) = -3$.故选B.

11. 已知$f^\prime(x)$是函数$f(x)$的导函数，若$f^\prime(x_0) = 4$，则$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - 2\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} =$ (C)

A.$-2$
B.2
C.$-8$
D.8

答案： 11.C 【解析】$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - 2\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = -2 \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - 2\Delta x)}{2\Delta x} = -2f'(x_0) = -8$.故选C.

12. [2023·河南商丘名校高二联考] 设函数$f(x)$在$x = x_0$附近有定义，且$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = a\Delta x + b(\Delta x)^2$，$a, b$为常数，则 (C)

A.$f^\prime(x) = a$
B.$f^\prime(x) = b$
C.$f^\prime(x_0) = a$
D.$f^\prime(x_0) = b$

答案： 12.C 【解析】因为$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = a\Delta x + b(\Delta x)^2$,$a,b$为常数,所以$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (a + b\Delta x) = a$.故选C.