《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

33.[2023·重庆巴蜀中学高二期末]已知数列$\{ a_n \}$满足$a_1 = 1,a_2 = 4$,且对任意$n \in \mathbf{N}^*$，都有$a_{n + 2} = 5a_{n + 1} - 6a_n + 2$成立.
(1)令$b_n = a_{n + 1} - 2a_n + 1,c_n = a_{n + 1} - 3a_n + 2$,求证：$\{ b_n \},\{ c_n \}$都是等比数列；
(2)求数列$\{ a_n \}$的通项公式$a_n$.

答案：
(1)【证明】因为$a_{n + 2} = 5a_{n + 1} - 6a_n + 2$，
所以$a_{n + 2} - 2a_{n + 1} + 1 = 3a_{n + 1} - 6a_n + 3 = 3(a_{n + 1} - 2a_n + 1)$.
又$b_n = a_{n + 1} - 2a_n + 1$，则$b_{n + 1} = a_{n + 2} - 2a_{n + 1} + 1$，
所以$b_{n + 1} = 3b_n$.
又$b_1 = a_2 - 2a_1 + 1 = 3$，
所以对任意$n \in \mathbf{N}^*$，$\frac{b_{n + 1}}{b_n} = 3$，
故$\{ b_n \}$是以3为首项，3为公比的等比数列.
因为$a_{n + 2} = 5a_{n + 1} - 6a_n + 2$，
所以$a_{n + 2} - 3a_{n + 1} + 2 = 2a_{n + 1} - 6a_n + 4 = 2(a_{n + 1} - 3a_n + 2)$.
又$c_n = a_{n + 1} - 3a_n + 2$，则$c_{n + 1} = a_{n + 2} - 3a_{n + 1} + 2$，
所以$c_{n + 1} = 2c_n$.
又$c_1 = a_2 - 3a_1 + 2 = 3$，
所以对任意$n \in \mathbf{N}^*$，$\frac{c_{n + 1}}{c_n} = 2$，
故$\{ c_n \}$是以3为首项，2为公比的等比数列.
(2)【解】由
(1)知，$b_n = 3·3^{n - 1} = 3^n$，$c_n = 3·2^{n - 1}$.
即$a_{n + 1} - 2a_n + 1 = 3^n$，$a_{n + 1} - 3a_n + 2 = 3·2^{n - 1}$，
两式作差可得$a_{n + 1} - 2a_n + 1 - (a_{n + 1} - 3a_n + 2) = 3^n - 3·2^{n - 1}$，整理，得$a_n = 3^n - 3×2^{n - 1} + 1$.

34.[2023·河南南阳第一中学高二月考]某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A,B两个等级，其中B等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分B等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的B等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成B等设备.
(1)在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由.
(2)至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%？
〔参考数据：$(\frac{4}{5})^3 = 0.512,(\frac{4}{5})^4 = 0.4096, (\frac{4}{5})^5 = 0.32768$〕

答案： 【解】
(1)记该企业全部生产设备总量为“1”，从2020年开始，经过$n$年后A等设备量占总设备量的百分比为$a_n$，则经过1年，即2021年底该企业A等设备量$a_1 = \frac{3}{10}×\frac{96}{100} + \frac{7}{10}×\frac{16}{100} = \frac{2}{5}$，
$a_{n + 1} = (1 - 4\%)a_n + 16\%(1 - a_n) = \frac{4}{5}a_n + \frac{4}{25}$，
所以$a_{n + 1} - \frac{4}{5} = \frac{4}{5}(a_n - \frac{4}{5})$.
又$a_1 - \frac{4}{5} = -\frac{2}{5} \neq 0$，
所以数列$\{ a_n - \frac{4}{5} \}$是以$-\frac{2}{5}$为首项，$\frac{4}{5}$为公比的等比数列，
所以$a_n - \frac{4}{5} = -\frac{2}{5}×(\frac{4}{5})^{n - 1}$，所以$a_n = \frac{4}{5} - \frac{2}{5}×(\frac{4}{5})^{n - 1}$.
显然有$a_n＜\frac{4}{5}$，
所以A等设备量不可能超过全体设备总量的80%.
(2)由$a_n = \frac{4}{5} - \frac{1}{2}×(\frac{4}{5})^n＞\frac{3}{5}$，得$(\frac{4}{5})^n＜\frac{2}{5}$.
因为$y = (\frac{4}{5})^n$为减函数，且$(\frac{4}{5})^4＞\frac{2}{5}$，$(\frac{4}{5})^5＜\frac{2}{5}$，
所以在2025年底实现A等设备量超过全体设备总量的60%.