《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

11. (多选)[2023·浙江七彩阳光联盟高二期中]已知函数$f(x)=x^{2}\mathrm{e}^{x},x\in\mathbf{R}$,下列结论正确的是 (BCD)

A.函数$f(x)$不存在最大值,也不存在最小值
B.函数$f(x)$存在极大值和极小值
C.函数$f(x)$有且只有一个零点
D.函数$f(x)$的极小值就是$f(x)$的最小值

答案：
11.BCD 思维路径 利用导数研究函数$f(x)$的单调性→作出图形→求出函数的最小值→结合函数零点、极值的概念依次判断各选项的正误.
【解析】由题意得$f'(x)=x(x+2)e^x$.令$f'(x)＜0$，得$-2＜x＜0$；令$f'(x)＞0$，得$x＜-2$或$x＞0$.所以函数$f(x)$在$(-2,0)$上单调递减，在$(-\infty,-2)$和$(0,+\infty)$上单调递增.易得$f(0)=0$，$f(x)=x^2e^x\geqslant0$.作出函数$f(x)$的大致图像，如图，则$f(x)_{min}=f(0)=0$，函数$f(x)$在$x=-2$处取得极大值，在$x=0$处取得极小值，极小值$f(0)$即为最小值，且函数有且只有一个零点0.故选BCD.

12. [2023·天津河北区高二期中]已知函数$f(x)=\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}$.
(1)判断函数$f(x)$的单调性,并求出函数$f(x)$的极值;
(2)画出函数$f(x)$的大致图像;
(3)讨论方程$f(x)=a(a\in\mathbf{R})$的解的个数.

答案：
12.【解】
(1)函数$f(x)=\frac{x}{e^x}$的定义域为$\mathbf{R},f'(x)=\frac{1-x}{e^x}$.
当$x＜1$时，$f'(x)＞0$；当$x＞1$时，$f'(x)＜0$.
因此函数$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减，
所以当$x=1$时，函数$f(x)$取得极大值，为$f(1)=\frac{1}{e}$，无极小值.
(2)由
(1)知，函数$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减，$f(x)_{max}=\frac{1}{e}$.
又$f(0)=0$，当$x＞1$时，$f(x)＞0$恒成立，
所以当$x＞1$时，随着$x$的增大，$f(x)$的图像在$x$轴的上方并与$x$轴无限接近，
所以函数$f(x)$的大致图像如图
(1)(画图时，要关注特殊点，即与坐标轴的交点、最值点、极值点).

(3)令$g(x)=e^x-x-1$，则$g'(x)=e^x-1$.
当$x＜0$时，$g'(x)＜0$；当$x＞0$时，$g'(x)＞0$.
所以函数$g(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增.
所以$\forall x\in\mathbf{R},g(x)\geqslant g(0)=0$，
所以$e^x\geqslant x+1$，所以$e^{-x}\geqslant -x+1$.
当$x＜0$时，$e^{-x}＞-x+1$，所以$\frac{x}{e^x}＜-x^2+x$.
而函数$y=-x^2+x$在$(-\infty,0)$上单调递增，其值域为$(-\infty,0)$，
因此函数$f(x)=\frac{x}{e^x}$在$(-\infty,0)$上无最小值，取值集合为$(-\infty,0)$.
方程$f(x)=a(a\in\mathbf{R})$的解的个数等价于函数$y=f(x)$的图像与直线$y=a$的交点的个数.
在同一平面直角坐标系内，作出直线$y=a$与函数$y=f(x)$的大致图像，如图
(2).

由图知，当$a＞\frac{1}{e}$时，方程$f(x)=a$的解的个数为$0$；
当$a=\frac{1}{e}$或$a\leqslant0$时，方程$f(x)=a$的解的个数为$1$；
当$0＜a＜\frac{1}{e}$时，方程$f(x)=a$的解的个数为$2$.

13. 已知某商品的进价为$4$元，通过多日的市场调查，该商品的市场销量$y$(单位：件)与商品售价$x$(单位：元)的关系为$y=\mathrm{e}^{-x}$,则当此商品的利润最大时，该商品的售价为 (A)

A.$5$元
B.$6$元
C.$7$元
D.$8$元

答案： 13.A【解析】根据题意可得利润函数$f(x)=(x-4)e^{-x}$，则$f'(x)=e^{-x}-(x-4)e^{-x}=(5-x)e^{-x}$.当$x＞5$时，$f'(x)＜0$，$f(x)$单调递减；当$0＜x＜5$时，$f'(x)＞0$，$f(x)$单调递增.所以当$x=5$时，函数$f(x)$取得最大值(一定要分清题目求的是函数的最值点还是最值).故选A.

14. [2023·江苏连云港高二期末]已知某种圆柱形饮料罐的容积$V$为定值,设底面圆的半径为$r$.
(1)试把饮料罐的表面积$S$表示为$r$的函数;
(2)求$r$为多少时,饮料罐的用料最省.

答案： 14.【解】
(1)由题意，知$V=\pi r^2h$，则$h=\frac{V}{\pi r^2}$，
所以$S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{2V}{r}$，
即$S(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}(r＞0)$.
(2)由
(1)得$S'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}$.
令$S'(r)=0$，解得$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$.
当$0＜r＜\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$时，$S'(r)＜0$，此时$S(r)$单调递减；
当$r＞\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$时，$S'(r)＞0$，此时$S(r)$单调递增.
所以当$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$时，$S(r)$取得最小值，用料最省.

15. [2023·浙江舟山高二期末]已知函数$f(x)=\ln x-\frac{1}{2}x^{2}$.
(1)求$f(x)$的图像在$x=1$处的切线方程;
(2)求$f(x)$在$\left[\frac{1}{\mathrm{e}},\mathrm{e}\right]$上的最值.

答案： 15.【解】
(1)由题意，得$x＞0,f'(x)=\frac{1}{x}-x,\therefore f'(1)=0$.
∵$f(1)=-\frac{1}{2}$，
∴$f(x)$的图像在$x=1$处的切线方程为$y+\frac{1}{2}=0$，
即$y=-\frac{1}{2}$.
(2)由已知，得$f'(x)=\frac{1-x^2}{x}=\frac{(1-x)(1+x)}{x}$
又$\frac{1}{e}\leqslant x\leqslant e$，
∴当$x\in\left[\frac{1}{e},1\right)$时，$f'(x)＞0$；当$x\in(1,e]$时，$f'(x)＜0$.
∴$f(x)$在$\left[\frac{1}{e},1\right)$上单调递增，在$(1,e]$上单调递减，
∴当$x=1$时，$f(x)$取得极大值，也是最大值，
∴$f(x)_{max}=f(1)=-\frac{1}{2}$.
∴$f\left(\frac{1}{e}\right)=\ln\frac{1}{e}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{e}\right)^2=-1-\frac{1}{2e^2},f(e)=\ln e-\frac{1}{2}e^2=1-\frac{1}{2}e^2$，
∴$f(e)＜f\left(\frac{1}{e}\right)$，
∴$f(x)_{min}=f(e)=1-\frac{1}{2}e^2$.
易错规避 闭区间上的函数的最值点，一般在区间端点，使导数等于$0$的变量取值处取得，求解时一定要进行比较分析，正确确定函数的最值点.