《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2022·江西新余第四中学高二月考]下列叙述正确的是 (D)

A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3,⋯可以表示为{ n }
C.数列0,1,0,1,⋯是常数列
D.数列{ 2n+1 }是递增数列

答案： 1.D 【解析】对于A，数列1,3,5,7与7,5,3,1不是相同的数列，故A错误；对于B，数列0,1,2,3,...可以表示为$\lfloor n - 1\rfloor$，故B错误；对于C，数列0,1,0,1,...是摆动数列，故C错误；对于D，数列$\lfloor 2n + 1\rfloor$是递增数列，故D正确.选D.

2.(多选)下列结论正确的是 (AB)

A.数列可以看成是一个定义在正整数集(或它的有限子集{ 1,2,3,⋯,n })上的函数
B.数列若用图像表示,则从图像上看都是一群孤立的点
C.数列的项数是无限的
D.数列的通项公式的形式是唯一的
题型 2 数列的通项公式

答案： 2.AB 【解析】由数列的定义知，数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或它的有限子集$\{1,2,3,·s,n\}$，故A，B正确；数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故C错误；对于D，数列$-1,1,-1,1,-1,1,·s$的通项公式可以为$a_{n}=(-1)^{n}$，也可以为$a_{n}=\begin{cases}-1,n = 2k - 1\\1,n = 2k\end{cases},k\in\mathbf{N}^{*}$，该数列的通项公式不唯一，故D错误.选AB.

3. [2023·湖北宜昌协作体高二期中]若数列{ $a_n$ }的通项公式为$ a_n = \frac{n}{n^2 + 6} $,则$ a_4 $= (C)

A.$ \frac{1}{7} $
B.$ \frac{2}{13} $
C.$ \frac{2}{11} $
D.$ \frac{1}{5} $

答案： 3.C 【解析】因为$a_{n}=\frac{n}{n^{2}+6}$，所以$a_{4}=\frac{4}{4^{2}+6}=\frac{2}{11}$.故选C.

4. [2023·安徽池州第一中学高二月考]在数列$ \frac{2}{7} $, $ \frac{3}{11} $,$ \frac{4}{15} $,$ \frac{5}{19} $,⋯,$ \frac{n + 1}{4n + 3} $,⋯中,$ \frac{11}{43} $是它的 (C)

A.第8项
B.第9项
C.第10项
D.第11项

答案： 4.C 【解析】令$\frac{n + 1}{4n + 3}=\frac{11}{43}$，化简得$43n + 43 = 44n + 33$，解得$n = 10$.故选C.

5.(多选)[2023·湖北部分学校高二期中改编]已知数列{ $a_n$ }的通项公式是$ a_n = n^2 + 2n $,则下列各数不是{ $a_n$ }中的项的是 (ABC)

A.10
B.18
C.26
D.63

答案： 5.ABC 【解析】令$a_{n}=n^{2}+2n = 10$，可得$n = -1\pm\sqrt{11}$.因为$-1 - \sqrt{11} \lt 0$，$-1 + \sqrt{11}$不是正整数，所以10不是$\lfloor a_{n}\rfloor$中的项.令$a_{n}=n^{2}+2n = 18$，可得$n = -1\pm\sqrt{19}$.因为$-1 - \sqrt{19} \lt 0$，$-1 + \sqrt{19}$不是正整数，所以18不是$\lfloor a_{n}\rfloor$中的项.令$a_{n}=n^{2}+2n = 26$，可得$n = -1\pm3\sqrt{3}$.因为$-1 - 3\sqrt{3} \lt 0$，$-1 + 3\sqrt{3}$不是正整数，所以26不是$\lfloor a_{n}\rfloor$中的项.令$a_{n}=n^{2}+2n = 63$，可得$n = -9$或$n = 7$.因为$-9 \lt 0$，7是正整数，所以数列$\lfloor a_{n}\rfloor$的第7项为63.故选ABC.
方法总结 判断某数是否为该数列中的项，可以先假定它是数列中的第$n$项，然后列出关于$n$的方程.若方程的解为正整数，则是该数列中的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的项.

6. [2022·天津河西高二期末]观察数列$ \frac{1}{2} $,-$ \frac{1}{6} $,(),-$ \frac{1}{20} $,$ \frac{1}{30} $,(),⋯的特点,则括号中应填入的适当的数为 (D)

A.$ \frac{1}{12} $,$ \frac{1}{40} $
B.-$ \frac{1}{12} $,$ \frac{1}{40} $
C.$ \frac{1}{10} $,-$ \frac{1}{42} $
D.$ \frac{1}{12} $,-$ \frac{1}{42} $

答案： 6.D 【解析】由题意可得，数列的通项公式为$a_{n}=(-1)^{n + 1}\frac{1}{n(n + 1)}$[偶数项是负值用$(-1)^{n + 1}$表示，奇数项是负值用$(-1)^{n}$表示]，
∴$a_{3}=\frac{1}{12}$，$a_{6}=-\frac{1}{42}$.故选D.
方法总结 寻找项与项的序号之间的规律的一般方法
(1)将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”，如分式形式的数列，可分别求分子、分母的通项公式；
(2)当一个数列各项的符号出现“+”“ - ”相间时，应把符号分离出来，可用$(-1)^{n}$或$(-1)^{n + 1}$来实现；
(3)当数列的奇偶项分别呈现规律时，考虑用分段的形式给出.

7. [2022·北京第三中学高二期中]数列1,0,1,0,⋯的一个通项公式是 (D)

A.$ a_n = (-1)^n + 1 $
B.$ a_n = (-1)^{n + 1} + 1 $
C.$ a_n = \frac{(-1)^n + 1}{2} $
D.$ a_n = \frac{(-1)^{n + 1} + 1}{2} $

答案： 7.D 【解析】对于A，由通项公式知$a_{1}=0$，$a_{2}=2$，$a_{3}=0$，$a_{4}=2$，不符合题意；对于B，由通项公式知$a_{1}=2$，$a_{2}=0$，$a_{3}=2$，$a_{4}=0$，不符合题意；对于C，由通项公式知$a_{1}=0$，$a_{2}=1$，$a_{3}=0$，$a_{4}=1$，不符合题意；对于D，由通项公式知$a_{1}=1$，$a_{2}=0$，$a_{3}=1$，$a_{4}=0$，符合题意.故选D.

8. 如图,根据图形中相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式$ a_n $=3 + 3n
题型 3 数列的递推公式

答案： 8.3 + 3n 【解析】第一个图形中的点数是$6 = 3 + 3×1$，第二个图形中的点数是$9 = 3 + 3×2$，第三个图形中的点数是$12 = 3 + 3×3$，所以点数构成的数列的通项公式是$a_{n}=3 + 3n$.

9. 在数列{ $a_n$ }中,$ a_{n + 1} = \frac{2a_n}{2 + a_n} $对所有的正整数n都成立,且$ a_6 = \frac{2}{3} $,则$ a_5 $= (A)

A.1
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ \frac{2}{5} $
D.-1

答案： 9.A 【解析】
∵在数列$\lfloor a_{n}\rfloor$中，$a_{n + 1}=\frac{2a_{n}}{2 + a_{n}}$对所有的正整数$n$都成立，
∴令$n = 5$得$a_{6}=\frac{2a_{5}}{2 + a_{5}}$，
∵$a_{6}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{2}{3}=\frac{2a_{5}}{2 + a_{5}}$，解得$a_{5}=1$.故选A.

10. 已知数列{ $a_n$ }满足$ a_1 = a $,$ a_{n + 1} = \frac{a_n^2 - 2}{a_n + 1} $($ n ∈ \mathbf{N}^* $). 若数列{ $a_n$ }是常数列,则$ a $= (A)

A.-2
B.-1
C.0
D.$ (-1)^n $

答案： 10.A 【解析】
∵数列$\lfloor a_{n}\rfloor$满足$a_{1}=a$，$a_{n + 1}=\frac{a_{n}^{2}-2}{a_{n}+1}(n\in\mathbf{N}^{*})$，
∴$a_{2}=\frac{a^{2}-2}{a + 1}$，
∵数列$\lfloor a_{n}\rfloor$是常数列，
∴$a=\frac{a^{2}-2}{a + 1}$，解得$a = -2$.故选A.

11. 已知数列{ $a_n$ }满足$ a_n = \begin{cases}3a_{n - 1}, & n \geqslant 2, \\ 2, & n = 1,\end{cases}$则$ a_4 $= ______ .

答案： 11.54 【解析】由数列的递推公式得$a_{2}=3a_{1}=6$，$a_{3}=3a_{2}=18$，$a_{4}=3a_{3}=54$(根据递推公式逐一赋值).

12. 已知数列{ $a_n$ }满足$ a_1 = 1 $,$ \frac{a_n - a_{n + 1}}{a_n a_{n + 1}} = \frac{2}{n(n + 1)} $($ n ∈ \mathbf{N}^* $),则$ a_n $=$\frac{n}{3n−2}$.

答案： 12.$\frac{n}{3n−2}$ 【解析】由$\frac{a_{n}-a_{n + 1}}{a_{n}a_{n + 1}}=\frac{2}{n(n + 1)}$，得$\frac{1}{a_{n + 1}}-\frac{1}{a_{n}}=2·(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})$，
∵$a_{1}=1$，
∴$\frac{1}{a_{n}}=(\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n - 1}})+(\frac{1}{a_{n - 1}}-\frac{1}{a_{n - 2}})+·s+(\frac{1}{a_{2}}-\frac{1}{a_{1}})+\frac{1}{a_{1}}$(采用了累加法)$=2[(\frac{1}{n - 1}-\frac{1}{n})+(\frac{1}{n - 2}-\frac{1}{n - 1})+·s+(1-\frac{1}{2})]+1=2(1-\frac{1}{n}) + 1=\frac{3n - 2}{n}$，
∴$a_{n}=\frac{n}{3n - 2}$.