《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

21.已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为8.

答案： 8【解析】设这个等比数列$\{ a_{n}\}$共有$2k(k\in N^{*})$项,公比为$q$,则奇数项之和$S_{奇}=a_{1}+a_{3}+·s+a_{2k-1}=85$,偶数项之和$S_{偶}=a_{2}+a_{4}+·s+a_{2k}=q(a_{1}+a_{3}+·s+a_{2k-1})=qS_{奇}=170$,所以$q=\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=\frac{170}{85}=2$,所以等比数列$\{ a_{n}\}$的所有项之和为$S_{2k}=\frac{a_{1}(1-2^{2k})}{1-2}=170+85=255$,则$2^{2k}=256$,解得$k=4$,因此,这个等比数列的项数为8.

22.[2022·安徽滁州定远育才学校高二期末]朱载堉是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设前三个音的频率总和为$A_{1}$，前六个音的频率总和为$A_{2}$，则$\frac{A_{2}}{A_{1}} =$$1+2^{\frac{1}{4}}$.

答案： $1+2^{\frac{1}{4}}$【解析】由题意知,一个八度13个音,且相邻两个音之间的频率之比相等.设第一个音的频率为$a_{1}$,相邻的两个音之间的频率之比为$q(q\neq1)$,则可以将每个音的频率看成等比数列$\{ a_{n}\}$,共13项,且$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=q$.因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍,所以$a_{13}=a_{1}q^{12}=2a_{1}$,即$q^{12}=2$,所以$q^{3}=2^{\frac{1}{4}}$.因为$A_{1}=\frac{a_{1}(1-q^{3})}{1-q},A_{2}=\frac{a_{1}(1-q^{6})}{1-q^{3}}$,所以$\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{1-q^{6}}{(1-q^{3})}=1+q^{3}=1+2^{\frac{1}{4}}$.

23.[2022·江苏金陵中学、海安中学高三联考]已知数列$\{ a_{n}\}$是公比为$q$的等比数列，前$n$项和为$S_{n}$，且满足$a_{1}+a_{3}=2q + 1$，$S_{3}=3a_{2}+1$.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)若数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{n} = \begin{cases} a_{n + 1} - a_{n}, & n 为奇数, \\ 3a_{n}, & n 为偶数, \end{cases} \frac{4a_{n}^{2} - 5a_{n} + 1}{} ,n$为偶数，求数列$\{ b_{n}\}$的前$2n$项和$T_{2n}$.

答案： 23.【解】
(1)由题意,得$\begin{cases}a_{1}+a_{1}q^{2}=2q+1,\\a_{1}(1+q+q^{2})=3a_{1}q+1.\end{cases}$解得$\begin{cases}a_{1}=1,\\q=2,\end{cases}$所以$a_{n}=2^{n-1}$.
(2)$b_{2n-1}=a_{2n}-a_{2n-1}=2^{2n-1}-2^{2n-2}=4^{n-1}$;$b_{2n}=\frac{3a_{2n}}{4a_{2n}-5a_{2n-1}+1}=\frac{3×2^{2n-1}}{4×2^{2n-2}-5×2^{2n-2}+1}=\frac{3×2^{2n-1}}{(2^{2n-1}-1)(4×2^{2n-1}-1)}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}-\frac{1}{2^{2n+1}-1}$,则$T_{2n}=(b_{1}+b_{3}+·s+b_{2n-1})+(b_{2}+b_{4}+·s+b_{2n})=(4^{0}+4^{1}+·s+4^{n-1})+(\frac{1}{2^{1}-1}-\frac{1}{2^{3}-1}+\frac{1}{2^{3}-1}-\frac{1}{2^{5}-1}+·s+\frac{1}{2^{2n-1}-1}-\frac{1}{2^{2n+1}-1})=\frac{4^{n}-1}{3}+1-\frac{1}{2^{2n+1}-1}=\frac{4^{n}+2}{3}-\frac{1}{2^{2n+1}-1}$.
方法总结分组转化法,把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个能求和的数列,再求解.裂项相消法,把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.

24.某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率.设经过$n$年之后，该项目的资金为$a_{n}$万元.
(1)设$b_{n}=a_{n} - 800$，证明数列$\{ b_{n}\}$为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标；（参考数据：$\lg 2 \approx 0.3$）
(2)若$c_{n}=\frac{(n + 1)b_{n}}{250}$，求数列$\{ c_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$.

答案： 24.【解】
(1)由题意,得$a_{1}=1000×(1+25\%)-200=1050$.
$\because a_{n+1}=\frac{5}{4}a_{n}-200$,且$b_{n}=a_{n}-800$,$\therefore800+b_{n+1}=\frac{5}{4}a_{n}-200=\frac{5}{4}(b_{n}+800)-200$,$\therefore b_{n+1}=\frac{5}{4}b_{n}$,$\therefore$数列$\{ b_{n}\}$是以250为首项,$\frac{5}{4}$为公比的等比数列,$\therefore b_{n}=250×(\frac{5}{4})^{n-1}$,则$a_{n}=800+250×(\frac{5}{4})^{n-1}$.
令$a_{n}\geqslant4000$,则$(\frac{5}{4})^{n-1}\geqslant\frac{64}{5}$,$\therefore(n-1)\lg\frac{5}{4}\geqslant\lg\frac{64}{5}$,从而可得$n-1\geqslant\frac{\lg\frac{64}{5}}{\lg\frac{5}{4}}=\frac{\lg64-\lg5}{\lg5-\lg4}=\frac{7\lg2-1}{1-3\lg2}\approx11$,故$n\geqslant12$,故至少要经过12年,该项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标.

25.在等比数列$\{ a_{n}\}$中，首项$a_{1}=2$，公比$q = 3$，$a_{n}+a_{n + 1} + ·s + a_{m}=720(n,m \in \mathbf{N}^{*},n ＜ m)$，则$n + m =$9.

答案： 9【解析】因为在等比数列$\{ a_{n}\}$中,首项$a_{1}=2$,公比$q=3$,所以$a_{n},a_{n+1},·s,a_{m}$构成首项为$2×3^{n-1}$,公比为3的等比数列,共$m-n+1$项,所以$a_{n}+a_{n+1}+·s+a_{m}=\frac{2×3^{n-1}(1-3^{m-n+1})}{1-3}=720$,整理得$3^{m-n+1}-1=\frac{720}{3^{n-1}}$.因为$n,m\in N^{*},n＜m$,所以等式左边为整数,故等式右边也需要为整数,则$3^{n-1}$应是720的约数,所以可得$3^{n-1}=1,3,9$,所以$n=1,2,3$.当$n=1$时,得$3^{m}=721$,此时$m\notin N^{*}$;当$n=2$时,得$3^{m-1}=241$,此时$m\notin N^{*}$;当$n=3$时,得$3^{m-2}=81$,此时$m=6$,符合题意.故$m+n=9$.