《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2023·河南商丘名校高二联考]设函数$f(x)=\cos x$,则$\left[f\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]^{\prime}=$
(D)

A.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.0

答案： 1.D 【解析】因为$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos \frac{\pi}{3}$为常数（确定常数是关键），所以$\left[f\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]' =0$. 故选D.

2. [2023·湖南怀化第三中学高二期末]下列导数运算正确的是 (C)

A.$(\sin x)^{\prime}=-\cos x$
B.$\left(3^{x}\right)^{\prime}=3^{x}$
C.$\left(\log$${2} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln 2}$
D.$\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=\frac{1}{x^{2}}$

答案： 2.C 【解析】（破题关键：对常见函数的导数要熟记，便于快速解题）对于A,$(\sin x)' = \cos x$,A错误；对于B,$(3^{x})' = 3^{x}\ln 3$,B错误；对于C,$(\log_{2}x)' = \frac{1}{x\ln 2}$,C正确；对于D,$\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^{2}}$,D错误. 故选C.

3. 对任意的$x$,有$f^{\prime}(x)=4 x^{3}, f(1)=-1$,则函数$f(x)$的解析式为 (B)

A.$f(x)=x^{3}$
B.$f(x)=x^{4}-2$
C.$f(x)=x^{3}+1$
D.$f(x)=x^{4}-1$

答案： 3.B 【解析】由$f'(x)=4x^{3}$知$f(x)$中含有$x^{4}$项，然后将$f(1)= - 1$代入各个选项中验证，可得$f(x)=x^{4}-2$符合题意. 故选B.

4. 求下列函数的导数：
(1)$f(x)=\sqrt[5]{x^{4}}$;
(2)$f(x)=\lg x$;
(3)$f(x)=5^{x}$;
(4)$f(x)=-2 \sin \frac{x}{2}\left(1-2 \cos ^{2} \frac{x}{4}\right)$.

答案： 4.【解】
(1)由$f(x)=\sqrt[5]{x^{4}}=x^{\frac{4}{5}}$，得$f'(x)=\frac{4}{5}x^{-\frac{1}{5}}$.
(2)由$f(x)=\lg x$，得$f'(x)=\frac{1}{x\ln 10}$.
(3)由$f(x)=5^{x}$，得$f'(x)=5^{x}\ln 5$.
(4)由$f(x)= - 2\sin \frac{x}{2}(1 - 2\cos^{2}\frac{x}{4}) = 2\sin \frac{x}{2}(2\cos^{2}\frac{x}{4}-1)=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\sin x$，得$f'(x)=\cos x$.

5. [2023·山东枣庄高二阶段练习]函数$f(x)=\mathrm{e}^{x}$的图像在点$\left(0, f(0)\right)$处的切线的倾斜角为 (B)

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$135^{\circ}$

答案： 5.B 【解析】由题意，得$f'(x)=e^{x}$，所以$f'(0)=e^{0}=1$，即$f(x)$的图像在点$(0,f(0))$处的切线斜率为1. 又切线倾斜角的取值范围为$[0^{\circ},180^{\circ})$，所以切线的倾斜角为$45^{\circ}$. 故选B.

6. [2023·北京第五十五中学高二调研]若直线$y=k x$是函数$f(x)=\ln x$图像的切线,则实数$k$的值是 (B)

A.$\frac{1}{e^{2}}$
B.$\frac{1}{\mathrm{e}}$
C.1
D.-1

答案： 6.B 【解析】设切点坐标为$(x_{0},y_{0})$，则$y_{0}=\ln x_{0}$. 由$f(x)=\ln x$，得$f'(x)=\frac{1}{x}$，所以$k = \frac{y_{0}}{x_{0}}=\frac{1}{x_{0}}$，则$y_{0}=1$，所以$x_{0}=e$，故$k = \frac{1}{e}$. 选B.

7. [2023·湖北咸宁崇阳众望高中高二开学检测]过原点的直线$m, n$分别与曲线$f(x)=\mathrm{e}^{x}, g(x)=\ln x$相切,则直线$m, n$的斜率的乘积为 (B)

A.-1
B.1
C.e
D.$\frac{1}{\mathrm{e}}$

答案： 7.B 思维路径▶设过原点的直线$m,n$与曲线$f(x),g(x)$的切点分别为$(x_{1},e^{x_{1}}),(x_{2},\ln x_{2})$⟶利用导数的几何意义求出切线方程⟶根据切线过原点解出$x_{1},x_{2}$⟶即可求解.
【解析】设过原点的直线$m,n$与曲线$f(x),g(x)$的切点分别为$(x_{1},e^{x_{1}}),(x_{2},\ln x_{2})$. 由题意得$f'(x)=e^{x},g'(x)=\frac{1}{x}$，所以曲线$f(x)$在$x = x_{1}$处的切线方程为$y - e^{x_{1}}=e^{x_{1}}(x - x_{1})$，曲线$g(x)$在$x = x_{2}$处的切线方程为$y - \ln x_{2}=\frac{1}{x_{2}}(x - x_{2})$.
因为两条切线过原点，所以$\begin{cases}0 - e^{x_{1}}=e^{x_{1}}(0 - x_{1})\\0 - \ln x_{2}=\frac{1}{x_{2}}(0 - x_{2})\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_{1}=1,\\x_{2}=e.\end{cases}$
所以直线$m,n$的斜率的乘积为$f'(x_{1})g'(x_{2})=e^{1}×\frac{1}{e}=1$. 故选B.

8. (多选)[2023·江苏连云港高二期末]设$b$为实数，则直线$y=2 x+b$能作为下列函数图像的切线的有 (BC)

A.$f(x)=\frac{1}{x}$
B.$f(x)=x^{4}$
C.$f(x)=\mathrm{e}^{x}$
D.$f(x)=\sin x$

答案： 8.BC 思维路径▶分别求得各函数的导数⟶若$f'(x)=2$有解⟶则直线$y = 2x + b$能作为该函数图像的切线⟶若$f'(x)=2$无解⟶则不能.
【解析】对于A,$f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}＜0$，则无论$x$取何值，$f'(x)$都不可能等于2，所以直线$y = 2x + b$不能作为该函数图像的切线；对于B,$f'(x)=4x^{3}$，令$f'(x)=4x^{3}=2$，解得$x=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$，所以直线$y = 2x + b$能作为该函数图像的切线；对于C,$f'(x)=e^{x}$，令$e^{x}=2$，解得$x = \ln 2$，所以直线$y = 2x + b$能作为该函数图像的切线；对于D,$f'(x)=\cos x\in[-1,1]$，则无论$x$取何值，$f'(x)$都不可能等于2，所以直线$y = 2x + b$不能作为该函数图像的切线. 故选BC.

9. 点$P$在函数$y=\mathrm{e}^{x}$的图像上,若满足到直线$y=x+a$的距离为$2 \sqrt{2}$的点$P$有且仅有3个,则实数$a$的值为5.

答案：
9.5 【解析】结合题意可知，若到直线$y = x + a$的距离为$2\sqrt{2}$的点$P$有且仅有3个，则直线$y = x + a$必与曲线$y = e^{x}$相交，且其中一个点$P$在切线上，且切线与直线$y = x + a$平行. 过函数$y = e^{x}$图像上的点$P(x_{0},y_{0})$作切线，使此切线与直线$y = x + a$平行. 由$y = e^{x}$得$y' = e^{x}$，于是$e^{x_{0}} = 1$，所以$x_{0}=0$，则$y_{0}=1$，所以$P(0,1)$. 当点$P$到直线$y = x + a$的距离为$2\sqrt{2}$时，有$\frac{|1 - 1 + a|}{\sqrt{1 + 1}}=2\sqrt{2}$，解得$a = 5$或$a = - 3$. 当$a = - 3$时，函数$y = e^{x}$的图像与直线$y = x - 3$不相交，如图，此时函数$y = e^{x}$的图像上只有一个点到直线$y = x - 3$的距离为$2\sqrt{2}$，不满足题意，舍去；当$a = 5$时，函数$y = e^{x}$的图像与直线$y = x + 5$相交，如图，此时函数$y = e^{x}$的图像上有且仅有3个点到直线$y = x + 5$的距离为$2\sqrt{2}$，满足题意. 故$a = 5$.

10. 设曲线$y=x^{n+1}(n \in \mathrm{N}^{*})$在点$(1,1)$处的切线与$x$轴的交点的横坐标为$x_{n}$,令$a_{n}=\lg x_{n}$,求$a_{1}+a_{2}+a_{3}+·s+a_{99}$的值.

答案： 10.【解】由题意，得$y'=(n + 1)x^{n}$，则切线斜率$k = y'|_{x = 1}=n + 1$，所以切线方程为$y=(n + 1)x - n$. 令$y = 0$，则$x_{n}=\frac{n}{n + 1}$，所以$a_{n}=\lg \frac{n}{n + 1}=\lg n - \lg(n + 1)$，所以$a_{1}+a_{2}+·s +a_{99}=(\lg 1 - \lg 2)+(\lg 2 - \lg 3)+·s +(\lg 99 - \lg 100)=\lg 1 - \lg 100 = - 2$.