《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

1.[2023·湖南长沙明德中学高二期中]数列$\{ a_{n}\}$为正项等比数列，前$n$项和为$S_{n}$，且满足$a_{2}=2$，$a_{6}=32$，则$S_{5}=$
(D)

A.36
B.35
C.32
D.31

答案： D【解析】设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q(q＞0)$.因为$a_{2}=2,a_{6}=32$,所以$q^{4}=\frac{a_{6}}{a_{2}}=16$,所以$q=2$或$q=-2$(舍去),所以$a_{1}=\frac{a_{2}}{q}=1$,所以$S_{5}=\frac{a_{1}(1-q^{5})}{1-q}=\frac{1×(1-2^{5})}{1-2}=31$.故选D.

2.[2022·贵州黔东南高二期末]已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{1}+a_{2}=-2$，$S_{3}=6$，则$S_{5}=$
(D)

A.64
B.42
C.32
D.22

答案： D【解析】设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$.依题意可得$\begin{cases}a_{1}+a_{2}=a_{1}(1+q)=-2,\\S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=a_{1}(1+q+q^{2})=6,\frac{a_{1}(1-q^{5})}{1-q}=\frac{2×[1-(-2)^{5}]}{1-(-2)}=22.\end{cases}$解得$\begin{cases}a_{1}=2,\\q=-2,\end{cases}$所以$S_{5}=$22.故选D.

3.[2023·山东济南历城二中高三月考]已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n + m}=2^{m}a_{n}(n,m \in \mathbf{N}^{*})$。若数列$\{ a_{n}\}$的前$5$项和为$31$，则$a_{5}=$
(B)

A.8
B.16
C.31
D.32

答案： B思维路径对$m$进行赋值$\to a_{n + 1} = 2a_{n} \to$利用递推公式,结合等比数列求和公式得解.
【解析】令$m=1$,得$a_{n+1}=2a_{n}$,所以$S_{5}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=\frac{1}{2^{4}}a_{5}+\frac{1}{2^{3}}a_{5}+\frac{1}{2^{2}}a_{5}+\frac{1}{2}a_{5}+a_{5}=a_{5}(\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2}+1)=a_{5}×\frac{1}{2^{4}}×(1-2^{5})$,解得$a_{5}=16$.故选B.

4.[2023·河南洛阳强基联盟高二月考]设等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{8}=3a_{11}$，则$\frac{S_{12}}{S_{6}} =$ (C)

A.$\frac{8}{9}$
B.$\frac{9}{10}$
C.$\frac{10}{9}$
D.$\frac{9}{8}$

答案： C【解析】设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$.由$a_{8}=3a_{11}$得$a_{8}=3a_{8}q^{3}$,解得$q^{3}=\frac{1}{3}$,所以$\frac{S_{12}}{S_{6}}=\frac{\frac{a_{1}(1-q^{12})}{1-q}}{\frac{a_{1}(1-q^{6})}{1-q}}=1+q^{6}=1+(\frac{1}{3})^{2}=\frac{10}{9}$(整体思想的应用).故选C.

5.设等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$S_{5}=10$，$S_{10}=50$，则$S_{20}=$
(D)

A.90
B.250
C.210
D.850

答案： D【解析】设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$,由题意知$q\neq1.\because S_{5}=10,S_{10}=50,\therefore\frac{a_{1}(1-q^{5})}{1-q}=10,\frac{a_{1}(1-q^{10})}{1-q}=50$,两式相除可得$\frac{1-q^{10}}{1-q^{5}}=\frac{1-q^{5}(1+q^{5})}{1-q^{5}}=5$,即$1+q^{5}=5,\therefore q^{5}=4,\therefore S_{20}=\frac{a_{1}(1-q^{20})}{1-q}=\frac{10}{1-q}×(1-256)=850$(整体思想的应用).故选D.

6.[2022·河南濮阳高二期末]5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化.目前我国最高的5G基站海拔6500m，从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期.现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队承建的基站数都比前一个工程队少$\frac{1}{6}$，则第一个工程队承建的基站数(单位：万)约为 (B)

A.$\frac{10 × 6^{8}}{6^{8} - 5^{8}}$
B.$\frac{10 × 6^{7}}{6^{8} - 5^{8}}$
C.$\frac{80 × 6^{7}}{6^{8} - 5^{8}}$
D.$\frac{10 × 6^{6}}{6^{8} - 5^{8}}$

答案： B【解析】由题意知,8个工程队分别承建的基站数依次成等比数列,公比是$\frac{5}{6}$.记第一个工程队承建的基站数为$a_{1}$,则$\frac{a_{1}[1-(\frac{5}{6})^{8}]}{1-\frac{5}{6}}=10$,解得$a_{1}=\frac{10×6^{7}}{6^{8}-5^{8}}$.故选B.

7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意：有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了六天后到达目的地.则下列说法正确的是 (D)

A.该人第五天走的路程为14里
B.该人第三天走的路程为42里
C.该人前三天共走的路程为330里
D.该人最后三天共走的路程为42里

答案： D思维路径由题意可知该人每天走的路程构成了公比$q=\frac{1}{2}$的等比数列$\{ a_{n}\}\to$由总路程求出首项$\to$得数列$\{ a_{n}\}$的通项公式$\to$得解.
【解析】由题意可知,该人每天走的路程构成了公比$q=\frac{1}{2}$的等比数列$\{ a_{n}\}$.设数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,则$S_{6}=\frac{a_{1}(1-(\frac{1}{2})^{6})}{1-\frac{1}{2}}=378$,所以$S_{6}=\frac{a_{1}(1-\frac{1}{2^{6}})}{1-\frac{1}{2}}=378$,解得$a_{1}=192$,则$a_{n}=192×\frac{1}{2^{n-1}}.a_{5}=192×\frac{1}{2^{4}}=12$,则该人第五天走的路程为12里，A错误.$a_{3}=192×\frac{1}{2^{2}}=48$,则该人第三天走的路程为48里，B错误.$S_{3}=\frac{192×(1-(\frac{1}{2})^{3})}{1-\frac{1}{2}}=336$,则该人前三天共走的路程为336里，C错误.由$S_{6}-S_{3}=378-336=42$,可知该人最后三天共走的路程为42里，D正确.故选D.

8.设等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$\frac{S_{10}}{S_{5}} = \frac{1}{2}$，则$\frac{S_{15}}{S_{5}} =$
(D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： D【解析】方法一(公式法)设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$,由题意得$q\neq1,\frac{S_{10}}{S_{5}}=\frac{\frac{1-q^{10}}{1-q}}{\frac{1-q^{5}}{1-q}}=1+q^{5}=\frac{1}{2}$,所以$q^{5}=-\frac{1}{2}$,所以$\frac{S_{15}}{S_{5}}=\frac{\frac{1-q^{15}}{1-q}}{\frac{1-q^{5}}{1-q}}=\frac{1-(-\frac{1}{2})^{3}}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{3}{4}$.故选D.
方法二(性质法)设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$,则由题意知$q\neq-1$,所以$S_{5},S_{10}-S_{5},S_{15}-S_{10}$也为等比数列.又$\frac{S_{10}}{S_{5}}=\frac{1}{2}$,不妨设$S_{5}=2k,S_{10}=k,k\neq0$,则$S_{10}-S_{5}=-k$,所以$S_{15}-S_{10}=\frac{k}{2}$,所以$S_{15}=\frac{3k}{2}$,所以$\frac{S_{15}}{S_{5}}=\frac{\frac{3k}{2}}{2k}=\frac{3}{4}$.故选D.
方法三(性质法)设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$,所以$\frac{S_{10}}{S_{5}}=\frac{S_{5}+q^{5}S_{5}}{S_{5}}=1+q^{5}=\frac{1}{2}$,所以$q^{5}=-\frac{1}{2}$,所以$\frac{S_{15}}{S_{5}}=\frac{S_{15}}{S_{5}}=\frac{S_{5}+q^{5}S_{5}+q^{10}S_{5}}{S_{5}}=\frac{1}{2}+q^{10}=\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{4}$.故选D.
方法总结已知数列$\{ a_{n}\}$是等比数列,其公比为$q$,前$n$项和为$S_{n}$,则
(1)当$q=1$时,$\frac{S_{n}}{S_{m}}=\frac{n}{m}$;当$q\neq\pm1$时,$\frac{S_{n}}{S_{m}}=\frac{1-q^{n}}{1-q^{m}}$.
(2)当$q\neq-1$或$n$为奇数时,$S_{n},S_{2n}-S_{n},S_{3n}-S_{2n},·s$是等比数列,其公比为$q^{n}$.
(3)$S_{m+n}=S_{m}+q^{m}S_{n}=S_{n}+q^{n}S_{m}$.

9.已知一个项数为偶数的等比数列$\{ a_{n}\}$，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则$a_{1} =$
(B)

A.11
B.12
C.13
D.14

答案： B【解析】$\because$所有项之和$S_{奇}+S_{偶}$是所有偶数项之和的4倍,$\therefore S_{奇}+S_{偶}=4S_{偶}$.设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$.由等比数列的性质可得$S_{偶}=qS_{奇}$(项数是偶数项的等比数列,根据等比数列的通项公式可知$S_{偶}=qS_{奇}$),即$S_{奇}=\frac{1}{q}S_{偶}$,$\therefore\frac{1}{q}S_{偶}+S_{偶}=4S_{偶}$.$\because S_{偶}\neq0,\therefore q=\frac{1}{3}$.又前3项之积$a_{1}a_{2}a_{3}=a_{2}^{3}=64$,解得$a_{2}=4,\therefore a_{1}=\frac{a_{2}}{q}=12$.故选B.
方法总结已知数列$\{ a_{n}\}$是公比为$q$的等比数列,$S_{n}$是其前$n$项和,设$S_{偶}$和$S_{奇}$分别是偶数项的和与奇数项的和,若数列$\{ a_{n}\}$的项数为$2n$,则$\frac{S_{偶}}{S_{奇}}=q$;若项数为$2n+1$,则$\frac{S_{奇}-a_{1}}{S_{偶}}=q$.

10.已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=3^{n}+a$，则实数$a$的值为 (D)

A.3
B.1
C.-3
D.-1

答案： D【解析】方法一由题意,得$a_{1}=S_{1}=3+a,a_{2}=S_{2}-S_{1}=6,a_{3}=S_{3}-S_{2}=18$.因为$a_{1},a_{2},a_{3}$成等比数列,所以$6^{2}=(3+a)×18$,解得$a=-1$.故选D.
方法二设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$,则$S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=A(q^{n}-1)$(其中$q\neq1,A=-\frac{a_{1}}{1-q}$)或$S_{n}=Aa_{n}+B$(其中$A=-\frac{q}{1-q},B=\frac{a_{1}}{1-q}$).由$S_{n}=3^{n}+a$可知$A=1,a=-A=-1$.故选D.
方法总结等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$可以写成$S_{n}=A(q^{n}-1)$(其中$q\neq1,A=-\frac{a_{1}}{1-q}$)或$S_{n}=Aa_{n}+B$(其中$A=-\frac{q}{1-q},B=\frac{a_{1}}{1-q}$).