《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

13. [2023·河北邯郸鸡泽第一中学高二月考] 设$y = f(x)$存在导数，且满足$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 - \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = 1$，则曲线$y = f(x)$在点$(1, f(1))$处的切线的倾斜角为 (B)

A.$30°$
B.$135°$
C.$45°$
D.$120°$

答案： 13.B 思维路径 根据导数的几何意义知曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线的斜率为$-1$ 结合斜率的定义 求切线的倾斜角.
【解析】设曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线的倾斜角为$\theta$.由$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 - \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = -\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 - \Delta x) - f(1)}{-\Delta x} = 1$,得$f'(1) = -1$,则曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线的斜率为$-1$,所以$\tan \theta = -1$.由$0^{\circ} ＜ \theta ＜ 180^{\circ}$,解得$\theta = 135^{\circ}$.故选B.

14. [2023·陕西西安鄠邑高二期末] 函数$y = f(x)$的图像如图，$f^\prime(x)$是函数$f(x)$的导函数，令$a = f^\prime(2)$，$b = f^\prime(4)$，$c = \frac{f(4) - f(2)}{2}$，则下列数值排序正确的是 (C)

A.$b ＜ a ＜ c$
B.$a ＜ b ＜ c$
C.$a ＜ c ＜ b$
D.$c ＜ b ＜ a$

答案： 14.C 【解析】由题图知,$f'(2) ＜ \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} ＜ f'(4)$,所以$a ＜ c ＜ b$.故选C.

15. [2023·江苏南京师范大学附属中学高二期末] 如图，已知函数$f(x)$的图像在点$P(2, f(2))$处的切线为$l$，则$f(2) + f^\prime(2) =$ (D)

A.$-3$
B.$-2$
C.2
D.1

答案： 15.D 【解析】由题图得,切线过点$(0,4)$和$(4,0)$,所以切线的斜率$k = \frac{4 - 0}{0 - 4} = -1$,切线的方程为$\frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1$,则$f'(2) = -1$,切点坐标为$(2,2)$,所以$f(2) = 2$,所以$f(2) + f'(2) = 2 - 1 = 1$.故选D.

16. [2023·重庆育才中学高二期末] 设函数$f(x)$的图像在点$(1, f(1))$处的切线方程为$y = 4x - 3$，则$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} =$ (A)

A.4
B.2
C.1
D.$-3$

答案： 16.A 思维路径 根据导数的几何意义$\to$知$f'(1) = 4 \to$求$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x}$
【解析】由导数值的定义,得$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = f'(1)$.根据导数的几何意义可知$f'(1) = 4$,所以$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = 4$.故选A.

17. 已知函数$f(x) = x^2 + 2$，则该函数在区间$[1, 3]$上的平均变化率是4，在$x = 1$处的瞬时变化率是2，在$x = 1$处的导数是2，在$\mathbf{R}$上的导函数是2x.

答案： 17.$4$ $2$ $2$ $2x$ 【解析】函数$f(x) = x^2 + 2$在区间$[1,3]$上的平均变化率是$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{3^2 + 2 - (1^2 + 2)}{2} = 4$.因为$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \frac{(1 + \Delta x)^2 + 2 - (1^2 + 2)}{\Delta x} = 2 + \Delta x$,所以$\lim_{\Delta x \to 0} (2 + \Delta x) = 2$,故函数$f(x)$在$x = 1$处的瞬时变化率是$2$,在$x = 1$处的导数是$2$.函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上的导函数是$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^2 + 2 - (x^2 + 2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x$.
易错规避 熟练掌握平均变化率、瞬时变化率、导函数、函数在某点处的导数的概念,正确代入对应公式,注意瞬时变化率与函数在某一点处的导数的实质相同,平均变化率的极限值就是对应的瞬时变化率.

18. 已知函数$y = f(x)$的图像如图，设函数$y = f(x)$从$-1$到$1$的平均变化率为$v_1$，从$1$到$2$的平均变化率为$v_2$，则$v_1$与$v_2$的大小关系为 (C)

A.$v_1 ＞ v_2$
B.$v_1 = v_2$
C.$v_1 ＜ v_2$
D.不能确定

答案： 18.C 【解析】记$v_1 = \frac{\Delta y_1}{\Delta x_1} = \tan \alpha_1$,$v_2 = \frac{\Delta y_2}{\Delta x_2} = \tan \alpha_2$.由题图知$0^{\circ} ＜ \alpha_1 ＜ \alpha_2 ＜ 90^{\circ}$,所以$v_1 ＜ v_2$.故选C.
易错规避 熟练掌握平均变化率的几何意义,可快速找到解题思路,平均变化率对应割线的斜率,可通过比较斜率的大小来比较平均变化率的大小.

19. [2023·湖北襄阳第四中学高二期末] 若函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数为$1$，则$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0 + 2\Delta x)}{\Delta x} =$ (D)

A.2
B.3
C.$-2$
D.$-3$

答案： 19.D 思维路径 根据导数的定义$\to \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0 + 2\Delta x)}{-\Delta x - 2\Delta x} = 1 \to$变形得$\frac{1}{3} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0 + 2\Delta x)}{\Delta x} = 1 \to$从而得$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0 + 2\Delta x)}{\Delta x}$的值.
【解析】由题意得,$f'(x_0) = 1$.根据导数的定义知,$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0 + 2\Delta x)}{-\Delta x - 2\Delta x} = f'(x_0) = 1$,即$-\frac{1}{3} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0 + 2\Delta x)}{\Delta x} = 1$,所以$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0 + 2\Delta x)}{\Delta x} = -3$.故选D.

20. [2023·浙江温州高二期末] 已知函数$f(x)$在$x = 2$附近可导，且$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 2}{x - 2} = -2$，$f(2) = 2$，则$f(x)$的图像在点$(2, f(2))$处的切线方程为 (A)

A.$2x + y - 6 = 0$
B.$2x - y - 2 = 0$
C.$x + 2y - 6 = 0$
D.$x - 2y + 2 = 0$

答案： 20.A 【解析】$\because \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 2}{x - 2} = -2,\therefore$函数$f(x)$的图像在$x = 2$处的切线斜率为$k = -2.\because f(2) = 2,\therefore$切线过点$(2,2)$,$\therefore$切线方程为$y - 2 = -2(x - 2)$,即$2x + y - 6 = 0$.故选A.

21. [2023·山东临沂高二期末] 已知一个圆柱形空杯，其底面直径为$8 cm$，高为$20 cm$，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积$V$(单位：$mL$)关于时间$t$(单位：$s$)的函数为$V(t) = \pi t^3 + 2\pi t^2$($t \geq 0$)，不考虑注液过程中溶液的流失，则当$t = 4 s$时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为 (B)

A.$2 cm/s$
B.$4 cm/s$
C.$6 cm/s$
D.$8 cm/s$

答案： 21.B 思维路径 根据题意求得杯中溶液上升高度$h = \frac{1}{16}t^3 + \frac{1}{8}t^2 (t \geq 0) \to$求导$\to$令$t = 4$,即可得当$t = 4s$时,杯中溶液上升高度的瞬时变化率.
【解析】由题意,杯子的底面面积$S = 16\pi$,则杯中溶液上升高度$h = \frac{V(t)}{S} = \frac{\pi t^3 + 2\pi t^2}{16\pi} = \frac{1}{16}t^3 + \frac{1}{8}t^2 (t \geq 0)$,所以$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta h}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{h(t + \Delta t) - h(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\frac{1}{8}[ \frac{1}{2}(t + \Delta t)^3 + (t + \Delta t)^2] - \frac{1}{8}(\frac{1}{2}t^3 + t^2)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (\frac{3}{16}t^2 + \frac{3}{16} · \Delta t + \frac{1}{8}t + \frac{1}{8} \Delta t) = \frac{3}{16}t^2 + \frac{1}{4}t$,即$h' = \frac{3}{16}t^2 + \frac{1}{4}t$.令$t = 4$,则$h' = \frac{3}{16} × 16 + \frac{1}{4} × 4 = 4$,即当$t = 4s$时,杯中溶液上升高度的瞬时变化率为$4cm/s$.故选B.

22. [2023·上海师范大学附属中学高二期末] 为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量. 设该药物在人体血管中药物浓度$c$(单位：$mg/mL$)与时间$t$(单位：$h$)的关系为$c = f(t)$. 甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间$t$变化的关系如上页图. 给出下列四个结论：
①在$t_1$时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
②在$t_2$时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③在$[t_2, t_3]$这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④在$[t_1, t_2]$，$[t_2, t_3]$两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.
其中，所有正确结论的序号是 (D)

A.①②
B.①③④
C.②③
D.①③

答案： 22.D 【解析】对于①,由题图知,在$t_1$时刻,两图像相交,说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同,①正确;对于②,由题图知,在$t_2$时刻,两图像的切线斜率不相等,即两图像对应函数在$x = t_2$处的导数不相等,说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同,②错误;对于③,由平均变化率公式知,在时间段$[t_2,t_3]$内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率均为$\frac{f(t_3) - f(t_2)}{t_3 - t_2}$,③正确;对于④,在$[t_1,t_2],[t_2,t_3]$两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率分别为$\frac{f(t_2) - f(t_1)}{t_2 - t_1},\frac{f(t_3) - f(t_2)}{t_3 - t_2}$,显然不相同,④错误.故选D.
方法总结 理解瞬时变化率和平均变化率的概念,结合导数的几何意义可知,瞬时变化率是函数的图像在某点处切线的斜率,平均变化率是$\frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}$,再结合图像,逐一判断选项即可.