《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2022·辽宁大连高二期末]已知数列$\{ c_{n}\}$满足$c_{1}=1,c_{n}=2c_{n - 1}+1(n\geq2)$.设等差数列$\{ a_{n}\}$和
$\{ b_{n}\}$的前$n$项和分别为$S_{n}$和$T_{n}$,且$\frac {a_{3}}{b_{4}+b_{6}}+\frac {a_{7}}{b_{2}+b_{8}}=$
$\frac {2}{5},\frac {S_{n}}{T_{n}}=\frac {An + 1}{2n + 7},S_{2}=6$.
(1)求证:数列$\{ c_{n}+1\}$是等比数列;
(2)求常数$A$的值及$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(3)求$c_{1}a_{1}+c_{2}a_{2}+·s +c_{n}a_{n}$的值.

答案：
(1)【证明】因为$c_1=1,c_{n}=2c_{n-1}+1(n\geq2)$，
所以$c_{n}+1=2(c_{n-1}+1)$.
又$c_1+1=2$，
所以数列$\{c_{n}+1\}$是首项为$2$，公比为$2$的等比数列.
(2)【解】由等差数列$\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$的性质可得，
$b_4+b_6=b_2+b_8=2b_5,a_3+a_7=2a_5$.
又$\frac{a_3}{b_4+b_6}+\frac{a_7}{b_2+b_8}=\frac{2}{5}$，
所以$\frac{a_3}{2b_5}+\frac{a_7}{2b_5}=\frac{a_3+a_7}{2b_5}=\frac{2a_5}{2b_5}=\frac{2}{5}$，
所以$\frac{(a_1+a_9)×9}{T_9}=\frac{2}{(b_1+b_9)×9}×9=\frac{a_5}{b_5}=\frac{2}{5}$.
因为$\frac{S_n}{T_n}=\frac{An+1}{2n+7}$，所以$\frac{S_9}{T_9}=\frac{9A+1}{2×9+7}=\frac{2}{5}$，
解得$A = 1$，所以$\frac{S_n}{T_n}=\frac{n+1}{2n+7}=\frac{n(n+1)}{n(2n+7)}$.
因为等差数列$\{a_{n}\}$和$\{b_{n}\}$的前$n$项和分别为$S_n$和$T_n$，
所以可设$S_n=kn(n + 1),T_n=kn(2n + 7)$.
因为$S_2=6$，所以$k = 1$，即$S_n=n(n + 1)$.
当$n = 1$时，$a_1=S_1=2$，
当$n\geq2$时，$a_n=S_n-S_{n - 1}=n^2+n-[(n - 1)^2+(n - 1)]=2n$，
显然当$n = 1$时，$a_1=2$也满足上式，
所以$a_n=2n$.
(3)【解】由
(1)可知$c_n+1=2×2^{n - 1}=2^n$，即$c_n=2^n-1$，
所以$c_na_n=(2^n-1)·2n=n·2^{n + 1}-2n$.
所以$c_1a_1+c_2a_2+·s+c_na_n=(1×2^2-2)+(2×2^3-4)+·s+(n·2^{n + 1}-2n)=(1×2^2+2×2^3+·s+n·2^{n + 1})-(2 + 4+·s+2n)=\frac{(1×2^2+2×2^3+·s+n·2^{n + 1})-\frac{(2 + 2n)n}{2}}{2}$
令$M=1×2^3+2×2^4+·s+n·2^{n + 2}$，
则$2M=1×2^3+2×2^4+·s+n·2^{n + 2}$，
两式相减，得$-M=2^2+2^3+2^4+·s+2^{n + 1}-n·2^{n + 2}=\frac{2^2-2^{n + 2}×2}{1 - 2}-n·2^{n + 2}=2^{n + 2}-n·2^{n + 2}-4=(1 - n)·2^{n + 2}-4$，
所以$M=(n - 1)·2^{n + 2}+4$，
所以$c_1a_1+c_2a_2+·s+c_na_n=(n - 1)·2^{n + 2}+4-\frac{(2 + 2n)n}{2}=(n - 1)·2^{n + 2}+4-n(n + 1)$.
水平诊断 此题第
(1)
(2)
(3)问用于检测知识与技能，知道“等差数列、等比数列、通项公式、数列求和”是知识，会利用相应的方法证明等比数列、求通项公式以及求和是技能；用于检测数学思想——整体思想、分类讨论思想、转化与化归思想，此时准确掌握通项公式的求法以及数列求和的方法是解题的关键，用于检测基本活动经验.

2. [2023·上海外国语大学附属外国语学校高二月考] 某中学有在校学生$2000$人，没有患感冒的同学. 由于天气骤冷，在校学生患流行性感冒人数剧增，第一天新增患病同学$10$人，之后每天新增的患病同学人数均比前一天多$9$人. 由于学生患病情况日益严重，学校号召同学接种流感疫苗以控制病情. 从第$8$天起，新增病患的人数均比前一天减少$50\%$，并且每天有$10$名患病同学康复.
(1) 求第$n$天新增病患的人数$a$$n$${ n } ( 1 \leq n \leq 1 3 , n \in \mathbf { N } ^ { * } )$；
(2) 按有关方面规定，当天患病同学的人数达到全校人数的$15\%$时必须停课，问该校有没有停课的必要？请说明理由.

答案： 思维路径
(1)利用等差、等比数列的定义和通项公式分段写出a_n即可；
(2)首先确定处于8到13天期间感染人数达到最大→解出在第9天人数达到最大→代入求出$S_9→$与标准比较即可.
【解】
(1)由题意得，当$1\leq n\leq7$时，a_n=10+(n - 1)×9=9n + 1，
当$8\leq n\leq13$时，$a_n=a_7·(\frac{1}{2})^{n - 7}=64×(\frac{1}{2})^{n - 7}=(\frac{1}{2})^{n - 13}，$
所以$a_n=\begin{cases}9n + 1,1\leq n\leq7,\frac{1}{2})^{n - 13},8\leq n\leq13.\end{cases}$
(2)令a_n＜10，则(\frac{1}{2})^{n - 13}＜10.
又$n\in N^*，$所以n的最小值为10，
即当第9天时，病号人数最多.
记新增病患总数为S_n，
则$S_9=\frac{(a_1+a_7)×7}{2}+a_8+a_9=259+32+16=307，$
康复的人数为2×10=20，
所以总病患人数为307-20=287＜2000×15\%=300，
所以该校没必要停课.
水平诊断 此题第
(1)
(2)问用于检测知识与技能，知道“等差数列、等比数列、通项公式、求和公式”是知识，会利用定义写出数列的通项公式以及求和公式是技能；用于检测数学思想——分类讨论思想，正确理解题意建立恰当的数学模型是解题的关键，用于检测基本活动经验.