《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

38. 将正整数数列1,2,3,4,5,⋯的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表:
　　　　1
　　　2　3
　　4　5　6
　7　8　9　10
　　⋯　　⋯　　⋯
(1)写出数表的第4行、第5行;
(2)写出数表中第10行的第5个数;
(3)设数表中每行的第1个数依次构成数列{ $a_n$ },数表中每行的最后一个数依次构成数列{ $b_n$ },试分别写出数列{ $a_n$ },{ $b_n$ }的递推公式,并求出它们的通项公式.

答案： 38.【解】
(1)数表中的第4行为7,8,9,10.
数表中的第5行为11,12,13,14,15.
(2)前10行中每一行的第一个数分别为1,2,4,7,11,16,22,29,37,46，
所以数表中第10行的第5个数为$46 + 4 = 50$.
(3)$a_{2}-a_{1}=1$，$a_{3}-a_{2}=2$，$a_{4}-a_{3}=3$，…，
所以数列$\lfloor a_{n}\rfloor$的递推公式为$a_{n}-a_{n - 1}=n - 1(n\geq2,n\in\mathbf{N}^{*})$，
则$a_{n}=a_{1}+(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+·s+(a_{n}-a_{n - 1})=1+1+2+3+·s+(n - 1)=1+\frac{(1 + n - 1)(n - 1)}{2}=\frac{n^{2}-n + 2}{2}$.
由题中数表可得$b_{2}-b_{1}=2$，$b_{3}-b_{2}=3$，$b_{4}-b_{3}=4$，…，
所以数列$\lfloor b_{n}\rfloor$的递推公式为$b_{n}-b_{n - 1}=n(n\geq2,n\in\mathbf{N}^{*})$，所以$b_{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+(b_{3}-b_{2})+·s+(b_{n}-b_{n - 1})=1+2+3+4+·s+n=\frac{n(n + 1)}{2}$.

39. [2022·浙江宁波镇海中学高二期中]已知某新型水稻产量的年增长率为r(0＜ r＜1). 某粮食种植基地计划种植该品种水稻. 已知该基地2020年储有该品种水稻的产量为15万t. 现计划从下一年(2021年)起,每年年初种植,年底从中分出固定的产量用于销售,15年后清空种植并更换种植品种. 设n年后该品种水稻的剩余产量为$ a_n $万t.
(1)设每年用于销售的产量为m万t,请用m和r表示$ a_n $;
(2)求m(用r表示).

答案： 39.【解】
(1)由题意，得$a_{n}=a_{n - 1}(1 + r)-m$，且$a_{1}=15(1 + r)-m$，
所以$a_{n}-\frac{m}{r}=(1 + r)(a_{n - 1}-\frac{m}{r})=(1 + r)^{2}(a_{n - 2}-\frac{m}{r})=·s=(1 + r)^{n - 1}(a_{1}-\frac{m}{r})$，
故$a_{n}=(1 + r)^{n - 1}(a_{1}-\frac{m}{r})+\frac{m}{r}=(1 + r)^{n - 1}(15 + 15r - m-\frac{m}{r})+\frac{m}{r}$.
而$a_{1}=15 + 15r - m$符合上式，
所以$a_{n}=(1 + r)^{n - 1}(15 + 15r - m-\frac{m}{r})+\frac{m}{r}$，$1\leq n\leq15$且$n\in\mathbf{N}^{*}$.
(2)由
(1)得$a_{n}=(1 + r)^{n - 1}(15 + 15r - m-\frac{m}{r})+\frac{m}{r}$.
因为15年后清空种植并更换种植品种，所以$a_{15}=0$，
所以$(1 + r)^{14}(15 + 15r - m-\frac{m}{r})+\frac{m}{r}=0$，
故$m=\frac{15r(1 + r)^{15}}{(1 + r)^{15}-1}$.

40. 已知{ $a_n$ }是递增数列,且对于任意的正整数n,$ a_n = n^2 + λn $恒成立,求实数λ的取值范围.

答案：
40.【解】因为$\lfloor a_{n}\rfloor$是递增数列，
所以$a_{n} \lt a_{n + 1}$，即$a_{n + 1}-a_{n} \gt 0$对任意$n\in\mathbf{N}^{*}$恒成立.
将$a_{n}=n^{2}+\lambda n$代入$a_{n + 1}-a_{n} \gt 0$，化简可得$\lambda \gt -(2n + 1)$.
又因为$[-(2n + 1)]_{\max}=-3$，所以$\lambda \gt -3$.
所以实数$\lambda$的取值范围为$(-3,+\infty)$.
易错规避：由$\lfloor a_{n}\rfloor$是递增数列，得$a_{n}=n^{2}+\lambda n$在$[1,+\infty)$上是单调递增函数，这是错误的.数列通项公式中的$n$是正整数，而不是取$[1,+\infty)$内的任意实数，如图，该图像表示的数列$\lfloor a_{n}\rfloor$显然是递增数列，但不满足$-\frac{\lambda}{2}\leq1$.

因此，关于此类问题，可以根据单调性的定义转化为关于$n$的不等式，利用恒成立结论求解.