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2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
7. [2022 · 河南南阳六校高二期末联考]观察下列不
等式：$5 + 3 \geqslant 8,25 + 9 \geqslant 32,125 + 27 \geqslant 128,625 + 81 \geqslant$ $512,·s$.
(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数$n$的命题；
(2)用数学归纳法证明(1)中得到的命题.
等式：$5 + 3 \geqslant 8,25 + 9 \geqslant 32,125 + 27 \geqslant 128,625 + 81 \geqslant$ $512,·s$.
(1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数$n$的命题；
(2)用数学归纳法证明(1)中得到的命题.
答案：
7.
(1)【解】不等式可写为$5 + 3 \geqslant 2^3$，$5^2 + 3^3 \geqslant 2^5$，$5^3 + 3^3 \geqslant 2^7$，$5^4 + 3^4 \geqslant 2^9$，
所以归纳得到命题：$5^n + 3^n \geqslant 2^{2n + 1}(n \in \mathbf{N}^*)$.
(2)【证明】①当$n = 1$时，易知命题成立.
②假设当$n = k(k \in \mathbf{N}^*)$时，命题成立，即$5^k + 3^k \geqslant 2^{2k + 1}$，
则当$n = k + 1$时，$5^{k + 1} + 3^{k + 1} = 5 × 5^k + 3^k = (4 + 1) × 5^k + (4 - 1) × 3^k = 4 × (5^k + 3^k) + 5^k - 3^k \geqslant 4 × 2^{2k + 1} + 5^k - 3^k \geqslant 2^{2(k + 1) + 1}$，
即当$n = k + 1$时，命题也成立.
由①②可知，$5^n + 3^n \geqslant 2^{2n + 1}$对任意$n \in \mathbf{N}^*$成立.
(1)【解】不等式可写为$5 + 3 \geqslant 2^3$，$5^2 + 3^3 \geqslant 2^5$，$5^3 + 3^3 \geqslant 2^7$，$5^4 + 3^4 \geqslant 2^9$，
所以归纳得到命题：$5^n + 3^n \geqslant 2^{2n + 1}(n \in \mathbf{N}^*)$.
(2)【证明】①当$n = 1$时，易知命题成立.
②假设当$n = k(k \in \mathbf{N}^*)$时，命题成立，即$5^k + 3^k \geqslant 2^{2k + 1}$，
则当$n = k + 1$时，$5^{k + 1} + 3^{k + 1} = 5 × 5^k + 3^k = (4 + 1) × 5^k + (4 - 1) × 3^k = 4 × (5^k + 3^k) + 5^k - 3^k \geqslant 4 × 2^{2k + 1} + 5^k - 3^k \geqslant 2^{2(k + 1) + 1}$，
即当$n = k + 1$时，命题也成立.
由①②可知，$5^n + 3^n \geqslant 2^{2n + 1}$对任意$n \in \mathbf{N}^*$成立.
8. 用数学归纳法证明：$1 + 4 + 7 + ·s + (3n - 2) = \frac{1}{2}n ·$ $(3n - 1)(n \in \mathbf{N}^{*})$.
答案：
（参考答案中未给出本题答案，answer字段为空）
9.(多选)用数学归纳法证明$\frac{2^{n} - 1}{2^{n} + 1} ＞ \frac{n}{n + 1}$对任意$n \geqslant k$ $(n,k \in \mathbf{N}^{*})$都成立，则以下满足条件的$k$的值为 (
A.1
B.2
C.3
D.4
CD
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：
9.CD 思维路径 根据题意分析$\frac{2^n - 1}{2^n + 1} ＞ \frac{n}{n + 1}$成立的$n$的范围→结合数学归纳法的定义→分析选项可得答案.
【解析】根据题意，对于$\frac{2^n - 1}{2^n + 1} - \frac{n}{n + 1}$，即$1 - \frac{2}{2^n + 1} ＞ 1 - \frac{1}{n + 1}$（分离常数），则有$2^n + 1 ＞ 2n + 2$，即$2^n ＞ 2n + 1$.又由$n \in \mathbf{N}^*$，得$n \geqslant 3$，即当$n \geqslant 3$时，$\frac{2^n - 1}{2^n + 1} - \frac{n}{n + 1}$成立.若$\frac{2^n - 1}{2^n + 1} - \frac{n}{n + 1}$对任意$n \geqslant k(n,k \in \mathbf{N}^*)$都成立，则$k \geqslant 3$.故选CD.
【解析】根据题意，对于$\frac{2^n - 1}{2^n + 1} - \frac{n}{n + 1}$，即$1 - \frac{2}{2^n + 1} ＞ 1 - \frac{1}{n + 1}$（分离常数），则有$2^n + 1 ＞ 2n + 2$，即$2^n ＞ 2n + 1$.又由$n \in \mathbf{N}^*$，得$n \geqslant 3$，即当$n \geqslant 3$时，$\frac{2^n - 1}{2^n + 1} - \frac{n}{n + 1}$成立.若$\frac{2^n - 1}{2^n + 1} - \frac{n}{n + 1}$对任意$n \geqslant k(n,k \in \mathbf{N}^*)$都成立，则$k \geqslant 3$.故选CD.
10. [2022 · 河南焦作高二期中]已知$x ＞ - 1$且$x \neq 0$，
用数学归纳法证明命题“当$n \in \mathbf{Z}$且$n ＞ 1$时，
$(1 + x)^{n} ＞ 1 + nx$”，第一步应验证的不等式
为
用数学归纳法证明命题“当$n \in \mathbf{Z}$且$n ＞ 1$时，
$(1 + x)^{n} ＞ 1 + nx$”，第一步应验证的不等式
为
$(1 + x)^2 ＞ 1 + 2x$
.
答案：
10.$(1 + x)^2 ＞ 1 + 2x$ 【解析】$x ＞ - 1$且$x \neq 0$，用数学归纳法证明命题“当$n \in \mathbf{Z}$且$n ＞ 1$时，$(1 + x)^n ＞ 1 + nx$”，第一步应验证的不等式为$(1 + x)^2 ＞ 1 + 2x$.
11. [2022 · 广西桂林十九中高二期中]设数列$\{ a_{n}\}$
满足$a_{1} = 3,2na_{n + 1} = (2n - 1)a_{n} + 6n + 1$.
(1)求$a_{2},a_{3}$的值并猜测通项公式$a_{n}$；
(2)证明上述猜想的通项公式.
满足$a_{1} = 3,2na_{n + 1} = (2n - 1)a_{n} + 6n + 1$.
(1)求$a_{2},a_{3}$的值并猜测通项公式$a_{n}$；
(2)证明上述猜想的通项公式.
答案：
11.
(1)【解】由题意得，当$n = 1$时，$2a_2 = a_1 + 6 + 1$，解得$a_2 = 5$.
当$n = 2$时，$4a_3 = 3a_2 + 12 + 1$，解得$a_3 = 7$.
故$a_2 = 5$，$a_3 = 7$，猜测$a_n = 2n + 1(n \in \mathbf{N}^*)$.
(2)【证明】①当$n = 1$时，$a_1 = 2 × 1 + 1 = 3$，即猜测成立.
②假设当$n = k$时，猜测成立，即$a_k = 2k + 1$，
则当$n = k + 1$时，由$a_{n + 1} = \frac{2n - 1}{2n}a_n + \frac{6n + 1}{2n}$，
得$a_{k + 1} = \frac{2k - 1}{2k}a_k + \frac{6k + 1}{2k} = \frac{2k - 1}{2k}(2k + 1) + \frac{6k + 1}{2k} = \frac{2(2k + 3)}{2k} = 2k + 3 = 2(k + 1) + 1$，
即当$n = k + 1$时猜测也成立.
综上所述，$a_n = 2n + 1$对任意$n \in \mathbf{N}^*$都成立.
(1)【解】由题意得，当$n = 1$时，$2a_2 = a_1 + 6 + 1$，解得$a_2 = 5$.
当$n = 2$时，$4a_3 = 3a_2 + 12 + 1$，解得$a_3 = 7$.
故$a_2 = 5$，$a_3 = 7$，猜测$a_n = 2n + 1(n \in \mathbf{N}^*)$.
(2)【证明】①当$n = 1$时，$a_1 = 2 × 1 + 1 = 3$，即猜测成立.
②假设当$n = k$时，猜测成立，即$a_k = 2k + 1$，
则当$n = k + 1$时，由$a_{n + 1} = \frac{2n - 1}{2n}a_n + \frac{6n + 1}{2n}$，
得$a_{k + 1} = \frac{2k - 1}{2k}a_k + \frac{6k + 1}{2k} = \frac{2k - 1}{2k}(2k + 1) + \frac{6k + 1}{2k} = \frac{2(2k + 3)}{2k} = 2k + 3 = 2(k + 1) + 1$，
即当$n = k + 1$时猜测也成立.
综上所述，$a_n = 2n + 1$对任意$n \in \mathbf{N}^*$都成立.
12. 求证：$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ·s + \frac{1}{3n + 1} ＞ 1(n \in \mathbf{N}^{*})$.
答案：
12.【证明】
(1)当$n = 1$时，不等式左边为$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} ＞ 1$，不等式成立.
(2)假设当$n = k$时不等式成立，即$\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ·s + \frac{1}{3k + 1} ＞ 1$，
那么当$n = k + 1$时，$\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ·s + \frac{1}{3k + 1} + \frac{1}{3k + 2} + \frac{1}{3(k + 1)} + \frac{1}{3(k + 1) + 1} = \frac{1}{k + 1} + [\frac{1}{k + 2} + ·s + \frac{1}{3k + 1}] + [\frac{1}{3k + 2} + \frac{1}{3(k + 1)} + \frac{1}{3(k + 1) + 1}] ＞ 1 + \frac{1}{3k + 2} + \frac{1}{3(k + 1)} + \frac{1}{3(k + 1) + 1} - \frac{1}{k + 1} = 1 + \frac{6k + 6}{9k^2 + 18k + 8} - \frac{6(k + 1)}{9k^2 + 18k + 9} = 1 + \frac{6(k + 1)}{9k^2 + 18k + 8} - \frac{6(k + 1)}{9k^2 + 18k + 9} ＞ 1$，
即当$n = k + 1$时，不等式成立.
根据
(1)
(2)知，原不等式对任意$n \in \mathbf{N}^*$都成立.
易错规避 证明过程中，从$n = k$到$n = k + 1$，需要搞清楚增加几项，减少几项，分母是相邻的自然数，故应增加的项为$\frac{1}{3k + 2} + \frac{1}{3(k + 1)} + \frac{1}{3(k + 1) + 1}$，减少的项为$\frac{1}{k + 1}$.
(1)当$n = 1$时，不等式左边为$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} ＞ 1$，不等式成立.
(2)假设当$n = k$时不等式成立，即$\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ·s + \frac{1}{3k + 1} ＞ 1$，
那么当$n = k + 1$时，$\frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + ·s + \frac{1}{3k + 1} + \frac{1}{3k + 2} + \frac{1}{3(k + 1)} + \frac{1}{3(k + 1) + 1} = \frac{1}{k + 1} + [\frac{1}{k + 2} + ·s + \frac{1}{3k + 1}] + [\frac{1}{3k + 2} + \frac{1}{3(k + 1)} + \frac{1}{3(k + 1) + 1}] ＞ 1 + \frac{1}{3k + 2} + \frac{1}{3(k + 1)} + \frac{1}{3(k + 1) + 1} - \frac{1}{k + 1} = 1 + \frac{6k + 6}{9k^2 + 18k + 8} - \frac{6(k + 1)}{9k^2 + 18k + 9} = 1 + \frac{6(k + 1)}{9k^2 + 18k + 8} - \frac{6(k + 1)}{9k^2 + 18k + 9} ＞ 1$，
即当$n = k + 1$时，不等式成立.
根据
(1)
(2)知，原不等式对任意$n \in \mathbf{N}^*$都成立.
易错规避 证明过程中，从$n = k$到$n = k + 1$，需要搞清楚增加几项，减少几项，分母是相邻的自然数，故应增加的项为$\frac{1}{3k + 2} + \frac{1}{3(k + 1)} + \frac{1}{3(k + 1) + 1}$，减少的项为$\frac{1}{k + 1}$.
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