《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

11.数列$\{ n · 2^{n}\}$的前$n$项和等于
(B)

A.$n · 2^{n} - 2^{n} + 2$
B.$n · 2^{n + 1} - 2^{n + 1} + 2$
C.$n · 2^{n + 1} - 2^{n}$
D.$n · 2^{n + 1} - 2^{n + 1}$

答案： B【解析】设$\{ n·2^{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,则$S_{n}=1×2^{1}+2×2^{2}+3×2^{3}+·s+n·2^{n}$①,所以$2S_{n}=1×2^{2}+2×2^{3}+·s+(n-1)·2^{n}+n·2^{n+1}$②.①-②,得$-S_{n}=2+2^{2}+2^{3}+·s+2^{n}-n·2^{n+1}$,所以$S_{n}=n·2^{n+1}-2^{n+1}+2$.故选B.

12.[2023·广东深圳高级中学高二期中]已知等比数列$\{ a_{n}\}$的各项均为正数，且$a_{2}+a_{3}+a_{4}=39$，$a_{5}=2a_{4}+3a_{3}$.
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{n}=n · a_{n}$，求$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 12.【解】
(1)设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q(q＞0)$,则$\begin{cases}a_{1}(q+q^{2}+q^{3})=39,\\a_{1}q^{4}=2a_{1}q^{3}+3a_{1}q^{2}.\end{cases}$解得$\begin{cases}a_{1}=1,\\q=3.\end{cases}$所以$a_{n}=3^{n-1}$,即$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=3^{n-1}$.
(2)由题意知,$b_{n}=n·3^{n-1}$,则$T_{n}=1×3^{0}+2×3^{1}+3×3^{2}+·s+(n-1)×3^{n-2}+n×3^{n-1}$①,所以$3T_{n}=1×3^{1}+2×3^{2}+3×3^{3}+·s+(n-1)×3^{n-1}+n×3^{n}$②,①-②,得$-2T_{n}=1+3^{1}+3^{2}+3^{3}+·s+3^{n-1}-n×3^{n}=\frac{1-3^{n}}{1-3}-n×3^{n}=\frac{(1-2n)3^{n}-1}{2}$,所以$T_{n}=\frac{(2n-1)3^{n}+1}{4}$.

13.计算：$2 + 2^{4} + 2^{7} + ·s + 2^{3n + 10}(n \in \mathbf{N}^{*}) =$$\frac{2}{7}(8^{n+4}-1)$.

答案： $\frac{2}{7}(8^{n+4}-1)$【解析】$\because$数列$2,2^{4},·s,2^{3n+10}$是首项为2,公比为$2^{3}=8$,项数为$n+4$的等比数列,$\therefore2+2^{4}+2^{7}+·s+2^{3n+10}=\frac{2(1-8^{n+4})}{1-8}=\frac{2(8^{n+4}-1)}{7}$.
易错规避本题容易错误地认为项数为n,避免发生这种错误的方法是等比数列的项数需通过计算得出,不能盲目地认为数列的项数都为n.

14.在等比数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{3}=\frac{3}{2}$，$S_{3}=\frac{9}{2}$，则公比$q$的值为
(B)

A.1或$\frac{1}{2}$
B.1或$-\frac{1}{2}$
C.1
D.$-\frac{1}{2}$

答案： B【解析】在等比数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{3}=\frac{3}{2},S_{3}=\frac{9}{2}$.当$q=1$时,$a_{1}=a_{3}=\frac{3}{2}$满足题意;当$q\neq1$时,$a_{1}q^{2}=\frac{3}{2}$,解$\frac{a_{1}(1-q^{3})}{1-q}=\frac{9}{2}$,得$\begin{cases}a_{1}=6,\\q=-\frac{1}{2}.\end{cases}$$\therefore$公比$q$的值为1或$-\frac{1}{2}$.故选B.
易错规避在等比数列的求和公式中,当公比$q=1$时,$S_{n}=na_{1}$,因此涉及等比数列求和时要注意分类讨论,本题求解的易错之处是忽视对$q=1$的讨论而丢解.

15.求$x + 2x^{2} + 3x^{3} + ·s + nx^{n}$的值.

答案： 15.【解】设$S_{n}=x+2x^{2}+3x^{3}+·s+nx^{n}$.
当$x=0$时,$S_{n}=0$.
当$x=1$时,$S_{n}=1+2+3+·s+n=\frac{n(1+n)}{2}$.
当$x\neq1$且$x\neq0$时,$S_{n}=x+2x^{2}+3x^{3}+·s+nx^{n}$①,①$× x$,得$xS_{n}=x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+·s+nx^{n+1}$②,①-②,得$(1-x)S_{n}=x+x^{2}+x^{3}+·s+x^{n}-nx^{n+1}=\frac{x(1-x^{n})}{1-x}-nx^{n+1}$,所以$S_{n}=\begin{cases}0,x=0,\frac{n(1+n)}{2},x=1,\frac{x(1-x^{n})}{(1-x)^{2}}-\frac{nx^{n+1}}{1-x},x\neq0且x\neq1.\end{cases}$
易错规避求解本题时容易忽视$x$的几种特殊情况导致错误,需要对$x$的取值进行全面讨论,才能正确得出所求结果.

16.[2023·吉林长春高二期末]设等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且满足$a_{1}a_{2}a_{3}=8$，$S_{2024}=4(a_{1}+a_{3}+a_{5}+·s+a_{2023})$，则$a_{6}=$
(C)

A.32
B.81
C.162
D.486

答案： C【解析】因为$a_{1}a_{2}a_{3}=8$,所以$a_{2}^{3}=8$,则$a_{2}=2$.设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$,则当$q=1$时,$S_{2024}=2024×2=4048\neq4(a_{1}+a_{3}+a_{5}+·s+a_{2023})=4×1012×2=8096$,故$q\neq1$.由$S_{2024}=4(a_{1}+a_{3}+a_{5}+·s+a_{2023})$,得$\frac{a_{1}(1-q^{2024})}{1-q}=\frac{4a_{1}(1-q^{2024})}{(1-q^{2})(1+q)}$,即$1=\frac{4}{1+q}$,解得$q=3$,所以$a_{6}=a_{2}q^{4}=2×3^{4}=162$.故选C.

17.[2022·内蒙古包头高二期末]若等比数列的前$n$项、前$2n$项、前$3n$项的和分别为$A$，$B$，$C$，则 (D)

A.$A + B = C$
B.$B^{2}=AC$
C.$A^{2} + B^{2}=C(A + B)$
D.$A(C - A)=B(B - A)$

答案： D【解析】设等比数列的前$n$项和为$S_{n}$.由题意可知$A=S_{n},B=S_{2n},C=S_{3n}$.由等比数列的性质可得$\frac{S_{2n}-S_{n}}{S_{n}}=\frac{S_{3n}-S_{2n}}{S_{2n}-S_{n}}=\frac{B-A}{A}$,即$\frac{B-A}{A}=\frac{C-B}{B-A}$,整理得$A^{2}+B^{2}=AB+AC$,所以$A(C-A)=B(B-A)$.故选D.

18.[2022·辽宁朝阳建平实验中学高二期中]设等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$.若$S_{2}=3$，$S_{6}=21$，则$\frac{S_{8}}{S_{4}} =$
(C)

A.$\frac{8}{3}$
B.$\frac{13}{3}$
C.5
D.7

答案： C【解析】由题意易得$q\neq1,\frac{S_{6}}{S_{2}}=\frac{\frac{a_{1}(1-q^{6})}{1-q}}{\frac{a_{1}(1-q^{2})}{1-q}}=\frac{1-q^{6}}{1-q^{2}}=1+q^{2}+q^{4}=7$,即$q^{4}+q^{2}-6=0$,解得$q^{2}=2$或$q^{2}=-3$(舍去),所以$\frac{S_{8}}{S_{4}}=\frac{\frac{a_{1}(1-q^{8})}{1-q}}{\frac{a_{1}(1-q^{4})}{1-q}}=\frac{1-q^{8}}{1-q^{4}}=\frac{1-(q^{2})^{4}}{1-(q^{2})^{2}}=\frac{1-16}{1-4}=5$.故选C.

19.已知等比数列$\{ a_{n}\}$的公比$q = 2$，前100项和$S_{100}=90$，则其偶数项和$a_{2}+a_{4}+·s+a_{100}=$
(D)

A.15
B.30
C.45
D.60

答案： D【解析】设$S=a_{1}+a_{3}+·s+a_{99}$,则$a_{2}+a_{4}+·s+a_{100}=(a_{1}+a_{3}+·s+a_{99})q=2S$.又因为$a_{100}=a_{1}+a_{2}+·s+a_{100}=90$,所以$3S=90$,解得$S=30$,所以$a_{2}+a_{4}+·s+a_{100}=2S=60$.故选D.

20.(多选)[2022·辽宁阜新第二高级中学高二期末]已知正项等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，公比为$q$，若$S_{2}=1$，$S_{6}=91$，则 (BC)

A.$S_{8}=729$
B.$S_{8}=820$
C.$q=3$
D.$q=9$

答案： BC【解析】因为$\{ a_{n}\}$为等比数列,所以$S_{2},S_{4}-S_{2},S_{6}-S_{4},·s$也构成等比数列.因为$S_{2}=1,S_{6}=91$,所以$(S_{4}-1)^{2}=1×(91-S_{4})$,则$S_{4}^{2}-S_{4}-90=(S_{4}-10)(S_{4}+9)=0$.因为$a_{n}＞0$,所以$S_{n}＞0$,解得$S_{4}=10$.所以$S_{4}-S_{2}=9$,所以$S_{8}-S_{6}=1×9^{3}=729$,则$S_{8}=729+91=820$,故A错误,B正确.因为$q^{2}=\frac{S_{4}-S_{2}}{S_{2}}=9$,且$a_{n}＞0$,所以$q=3$,故C正确,D错误.选BC.