《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

9. (多选)如图是函数$y=f(x)$的导函数$f'(x)$的图
像，则下列判断正确的是
(BC)

A.在区间$(-2,1)$上，$f(x)$单调递增
B.在区间$(1,2)$上，$f(x)$单调递增
C.在区间$(4,5)$上，$f(x)$单调递增
D.在区间$(-3,-2)$上，$f(x)$单调递增

答案： 9.BC【解析】由题图知,当$x\in(1,2)$或$x\in(4,5)$时,$f'(x)＞0$,所以$f(x)$在区间$(1,2),(4,5)$上单调递增,故B,C正确.当$x\in(-2,-1)$时,$f'(x)＜0$,当$x\in(-1,1)$时,$f'(x)＞0$,所以$f(x)$在区间$(-2,-1)$上单调递减,在区间$(-1,1)$上单调递增,故A错误.当$x\in(-3,-2)$时,$f'(x)＜0$,所以$f(x)$在区间$(-3,-2)$上单调递减,故D错误.选BC.
方法总结若导数的图像在$x$轴上方,则$f'(x)＞0$,此时函数$f(x)$单调递增;若导数的图像在$x$轴下方,则$f'(x)＜0$,此时函数$f(x)$单调递减.

10. [2023·湖北武汉 5G 联合体高二期中]已知定义
在$\mathbf{R}$上的可导函数$f(x)$的图像如图，$f'(x)$是
$f(x)$的导函数，则不等式$xf'(x)＞0$的解集
为$(-1,0)\cup(1,+\infty)$.

答案： 10.$(-1,0)\cup(1,+\infty)$【解析】由题图知$f'(x)＞0$的解集为$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$,$f'(x)＜0$的解集为$(-1,1)$.因为$xf'(x)＞0$,所以$\begin{cases}x＞0,\\f'(x)＞0\end{cases}$或$\begin{cases}x＜0,\\f'(x)＜0.\end{cases}$解得$x＞1$或$-1＜x＜0$.所以不等式$xf'(x)＞0$的解集为$(-1,0)\cup(1,+\infty)$.

11. [2023·福建南平高二期末]若函数$f(x)=x^{3}-3x^{2}+ax$在$\mathbf{R}$上是增函数，则实数$a$的取值范围
为(B)

A.$a＞3$
B.$a\geqslant3$
C.$a\leqslant3$
D.$a＜3$

答案： 11.B【解析】$\because$函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上是增函数,$\therefore f'(x)=3x^2 - 6x + a\geq0$在$\mathbf{R}$上恒成立,$\therefore\Delta = 36 - 12a\leq0$,解得$a\geq3$.故选B.
方法总结函数在$\mathbf{R}$上单调,可等价转化为与其导数有关的不等式在$\mathbf{R}$上的恒成立问题,如本题转化为$f'(x)=3x^2 - 6x + a\geq0$在$\mathbf{R}$上恒成立,再利用数形结合思想,转化为二次函数图像的位置问题.

12. [2023·北京海淀中国人民大学附属中学高二期
中]如果定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+x$的单调递增区间为$(-1,1)$，那么实数$a+b$的值
为$-\frac{1}{3}$.

答案： 12.$-\frac{1}{3}$【解析】由题意得$f'(x)=3ax^2 + 2bx + 1$.因为定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)=ax^3 + bx^2 + x$的单调递增区间为$(-1,1)$,所以$\begin{cases}f'(-1)=3a - 2b + 1 = 0,\\f'(1)=3a + 2b + 1 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{3},\\b = 0.\end{cases}$题意.故$a + b=-\frac{1}{3}$.

13. 函数$f(x)=\mathrm{e}^{x}(2x^{2}-4x-4)$在区间$(k-1,k+1)$上
不单调，则实数$k$的取值范围是$(-3,-1)\cup(1,3)$.

答案： 13.$(-3,-1)\cup(1,3)$【解析】由题意得$f'(x)=e^x(2x^2 - 8)$.令$f'(x)=0$,得$x=\pm2$.当$x＜-2$或$x＞2$时,$f'(x)＞0$;当$-2＜x＜2$时,$f'(x)＜0$.所以函数$f(x)$在$(-\infty,-2),(2,+\infty)$上单调递增,在$(-2,2)$上单调递减.因为函数$f(x)$在区间$(k - 1,k + 1)$上不单调,所以$k - 1＜-2＜k + 1$或$k - 1＜2＜k + 1$,解得$-3＜k＜-1$或$1＜k＜3$.所以实数$k$的取值范围是$(-3,-1)\cup(1,3)$.

14. [2023·河南高二联考]若函数$f(x)=(x^{2}+mx+1)\mathrm{e}^{x}$在区间$[-1,1]$上单调递减，则实数$m$的取
值范围为$(-\infty,-2]$.

答案： 14.$(-\infty,-2]$【解析】由题意得$f'(x)=[x^2 + (m + 2)x + m + 1]e^x=(x + m + 1)(x + 1)e^x\leq0$在$[-1,1]$上恒成立.易得$(x + 1)e^x\geq0$,所以$x + m + 1\leq0$在$[-1,1]$上恒成立,即$m\leq - x - 1$在$[-1,1]$上恒成立,故只需$m\leq(-x - 1)_{\min}$.当$x\in[-1,1]$时,$-x - 1\in[-2,0]$,所以$m\leq - 2$.
方法总结函数在某区间上单调,可等价转化为与其导数有关的不等式在对应区间上恒成立的问题,如本题转化为$f'(x)=(x + m + 1)(x + 1)e^x\leq0$在$[-1,1]$上恒成立,再利用分离参数法,转化为最值问题.

15. [2023·福建福州第三中学高二期末]已知函数
$f(x)=2\sin x-a(x-1)$.
(1)若曲线$y=f(x)$经过点$(0,1)$，求该曲线在
点$(0,1)$处的切线方程；
(2)若函数$f(x)$在$\left[-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]$上是增函数，求实
数$a$的取值范围.
利用导数与函数的单调性的关系解决

答案： 15.【解】
(1)依题意,得$f(0)=a = 1$,所以$f(x)=2\sin x - x + 1$,则$f'(x)=2\cos x - 1$,所以$f'(0)=2\cos0 - 1 = 1$,所以该曲线在点$(0,1)$处的切线方程为$y - 1 = 1×(x - 0)$,即$y = x + 1$.
(2)因为$f(x)=2\sin x - a(x - 1)=2\sin x - ax + a$,所以$f'(x)=2\cos x - a$.
依题意,知$f'(x)\geq0$在区间$\left[-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]$上恒成立,即$2\cos x - a\geq0$在区间$\left[-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]$上恒成立,所以$a\leq2\cos x$在区间$\left[-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]$上恒成立.
因为$x\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]$,所以$\cos x\in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$,所以$2\cos x\in[-\sqrt{2},2]$,所以$a\leq - \sqrt{2}$.

16. [2023·陕西汉中高二期末]已知函数$f(x)=2x-\sin x$，则下列选项正确的是
(D)

A.$f(\mathrm{e})＜f(\pi)＜f(2.7)$
B.$f(\pi)＜f(\mathrm{e})＜f(2.7)$
C.$f(\mathrm{e})＜f(2.7)＜f(\pi)$
D.$f(2.7)＜f(\mathrm{e})＜f(\pi)$

答案： 16.D【解析】由题意,得$f'(x)=2 - \cos x＞0$,所以$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增.因为$2＜e＜\pi$,所以$f(2)＜f(e)＜f(\pi)$.故选D.

17. [2023·江苏南京师范大学附属中学高二期末]
设$m$为实数，已知函数$f(x)=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}+2\sin x$，则
不等式$f(2m)＞f(m-2)$的解集为$(-2,+\infty)$.

答案： 17.$(-2,+\infty)$【解析】由题意得,函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$,$f'(x)=e^x + e^{-x} + 2\cos x$.因为$e^x + e^{-x}\geq2\sqrt{e^x· e^{-x}} = 2$(当且仅当$e^x = e^{-x}$,即$x = 0$时,等号成立),$2\cos x\geq - 2$(当且仅当$x=(2k - 1)\pi,k\in\mathbf{Z}$时,等号成立],所以$f'(x)＞0$,所以函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增,所以由$f(2m)＞f(m - 2)$得$2m＞m - 2$,解得$m＞-2$.所以不等式$f(2m)＞f(m - 2)$的解集为$(-2,+\infty)$.

18. [2023·广西玉林高二期中]函数$f(x)=x^{2}-4\ln x+2x-3$的单调递减区间是
(C)

A.$(1,+\infty)$
B.$(-2,1)$
C.$(0,1)$
D.$(-\infty,-2)$和$(1,+\infty)$

答案： 18.C【解析】由题意得,函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$,$f'(x)=2x - \frac{4}{x} + 2=\frac{2(x + 2)(x - 1)}{x}$.由$f'(x)＜0$,得$0＜x＜1$,所以函数$f(x)$的单调递减区间是$(0,1)$.故选C.
易错规避看到对数,立即注意到函数的定义域为$(0,+\infty)$,求解函数的单调区间时,一定要在定义域内求.本题易错选B.