《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

12. [2023·四川绵阳南山中学高二期中] 已知函数$f(x)=x^{3}-x^{2}+x + 2$.
(1)求曲线$f(x)$在点$(0,f(0))$处的切线方程；
(2)求经过点$A(1,3)$的曲线$f(x)$的切线方程.

答案： 12.【解】
(1)由题意，得$f^\prime(x)=3x^2 - 2x + 1$，所以$f^\prime(0)=1$.易得$f(0)=2$，所以曲线$f(x)$在点$(0,f(0))$处的切线斜率为$1$，切点为$(0,2)$，所以曲线$f(x)$在点$(0,f(0))$处的切线方程为$y - 2 = x$，即$x - y + 2 = 0$.
(2)设切点坐标为$(m,n)$，则$n = m^3 - m^2 + m + 2$.由
(1)得$f^\prime(x)=3x^2 - 2x + 1$，所以曲线$f(x)$在点$(m,n)$处的切线斜率为$3m^2 - 2m + 1$，所以切线方程为$y - (m^3 - m^2 + m + 2)=(3m^2 - 2m + 1)·(x - m)$.
因为切线经过点$A(1,3)$，所以$3 - (m^3 - m^2 + m + 2)=(3m^2 - 2m + 1)(1 - m)$，化简，得$m(m - 1)^2 = 0$，解得$m = 0$或$m = 1$.所以切线方程为$y - 2 = x$或$y - 3 = 2(x - 1)$，即$y = x + 2$或$y = 2x + 1$.

13. [2023·湖北襄阳第五中学高二开学考试] 已知函数$f(x)=x^{m}+\ln x$. 若$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + 2\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=-2$,则$m =$

A.-1
B.-2
C.-3
D.-5

答案： B

14. [2023·陕西宝鸡渭滨高二期末] 若函数$f(x)$, $g(x)$满足$f(x)+xg(x)=x^{2}$,且$f(1)=1$,则$f^{\prime}(1)+g^{\prime}(1)=$

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

15. [2023·山东菏泽高二期中] 已知函数$f(x)=\frac{(x + 1)^{2}+\sin x}{x^{2}+1}$,其导函数记为$f^{\prime}(x)$,则$f^{\prime}(2023)-f^{\prime}(-2023)=$

A.-1
B.0
C.1
D.2

答案： B

16. 已知点$A$为曲线$y=\frac{\sqrt{3}}{2}(\ln x+\frac{1}{2}x^{2})$上的动点. 若以点$A$为切点的切线的倾斜角为$\theta$,则$\theta$的取值范围为

A.$(0,\frac{\pi}{3}]$
B.$(\frac{\pi}{3},\pi)$
C.$[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2})$
D.$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})$

答案： D

17. [2023·安徽池州第一中学高二月考] 已知函数$f(x)=3x^{2}-\frac{f^{\prime}(1)}{2}\ln x$,则$f(e)=$$3e^2 - 2$.

答案： $3e^2 - 2$

18. 若函数$f(x)=x \ln x - ax^{2}+x(a \in \mathbf{R})$的图像在点$(1,f(1))$处的切线恒过定点，则该定点的坐标为$(\frac{1}{2},0)$.

答案： $(\frac{1}{2},0)$

19. [2023·江苏镇江扬中高级中学高二期末] 已知函数$f(x)=\ln x,g(x)=\tan x$.
(1)求曲线$y = g(x)$在$x = \frac{\pi}{3}$处的切线方程；
(2)若直线$l$过原点且与曲线$y = f(x)$相切,求直线$l$的方程.

答案： 19.思维路径
(1)利用导数的几何意义求出切线斜率$\to$利用直线方程的点斜式写出切线方程.
(2)设切点坐标为$(x_0,\ln x_0)\to$利用导数的几何意义得到直线$l$的斜率$\to$得直线$l$的方程.
【解】
(1)$\because g(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$（注意同角三角函数基本公式的应用，再利用两函数商的导数运算法则求导），$\therefore g^\prime(x)=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x},\therefore g^\prime(\frac{\pi}{3})=4$.易得$g(\frac{\pi}{3})=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$，$\therefore$曲线$y = g(x)$在$x=\frac{\pi}{3}$处的切线方程为$y - \sqrt{3}=4(x - \frac{\pi}{3})$，整理，得$4x - y + \sqrt{3}-\frac{4\pi}{3}=0$.
(2)由$f(x)=\ln x$，得$f^\prime(x)=\frac{1}{x}$，设切点坐标为$(x_0,\ln x_0)$，则切线斜率为$f^\prime(x_0)=\frac{1}{x_0}$，$\therefore$直线$l$的方程为$y - \ln x_0=\frac{1}{x_0}(x - x_0)$.
$\because$直线$l$过原点，$\therefore - \ln x_0=\frac{1}{x_0}·( - x_0)$，解得$x_0 = e$.
$\therefore$直线$l$的方程为$y - 1=\frac{1}{e}(x - e)$，整理，得$x - ey = 0$.

20. 已知函数$f(x)=x^{2}(x - a)$.
(1)当$x \in (0,1)$时,函数$f(x)$的图像上任意一点处的切线斜率为$k$,若$k \geq -3$,求实数$a$的取值范围；
(2)若$a = -2$,求曲线$y = f(x)$过点$M(-1,f(-1))$的切线方程.

答案： 20.思维路径
(1)根据导数的几何意义得当$x\in(0,1)$时，$f^\prime(x)=3x^2 - 2ax\geqslant - 3$恒成立$\to$分离参数$\to$结合对勾函数的性质求解.
(2)设出切点坐标$\to$根据导数的几何意义求出切线的斜率$\to$利用直线方程的点斜式写出切线方程$\to$将点$M$的坐标代入切线方程计算即可.
【解】
(1)由题意，得$f^\prime(x)=2x(x - a)+x^2=3x^2 - 2ax$.因为当$x\in(0,1)$时，$3x^2 - 2ax\geqslant - 3$恒成立，所以$2a\leqslant3(x+\frac{1}{x})$在$x\in(0,1)$上恒成立.
由对勾函数的性质知，函数$y = 3(x+\frac{1}{x})$在$( - \infty, - 1)$和$(1,+ \infty)$上单调递增，在$( - 1,0)$和$(0,1)$上单调递减，所以当$x\in(0,1)$时，$3(x+\frac{1}{x})＞3(1 + 1)=6$，所以$2a\leqslant6$，解得$a\leqslant3$.
故实数$a$的取值范围是$( - \infty,3]$.
(2)当$a = - 2$时，$f(x)=x^2(x + 2)$，所以$f( - 1)=1,f^\prime(x)=3x^2 + 4x$.所以曲线$f(x)$在$x = m$处的切线斜率为$f^\prime(m)=3m^2 + 4m$.设切点坐标为$(m,n)$，则$n = m^3 + 2m^2$，所以切线方程为$y - (m^3 + 2m^2)=(3m^2 + 4m)(x - m)$.又切线过点$M( - 1,1)$，所以$1 - m^3 - 2m^2=(3m^2 + 4m)( - 1 - m)$，整理，得$(m + 1)^2(2m + 1)=0$，解得$m = - 1$或$m = - \frac{1}{2}$
所以所求切线方程为$y - 1 = - (x + 1)$或$y - 1 = - \frac{5}{4}(x + 1)$，
即$y = - x$或$y = - \frac{5}{4}x - \frac{1}{4}$

21. 若曲线$y = x^{3}-2x^{2}+m$与曲线$y = 4x^{2}+1$有一条过原点的公切线,则实数$m$的值为8或$-\frac{40}{27}$.

答案： 8或$-\frac{40}{27}$