《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2023·山东青岛第二中学高二期初考试] 已知函数$f(x)$的导函数$f'(x)$的图像如图，则下列判断正确的是


A.$f(x)$在区间$(-1,1)$上单调递增
B.$f(x)$在区间$(-2,0)$上单调递增
C.$x=-1$为$f(x)$的极小值点
D.$x=2$为$f(x)$的极大值点

答案： 1.D 【解析】对于A，当$x \in (-1,0)$时，$f^{\prime}(x)＜0$，当$x \in (0,1)$时，$f^{\prime}(x)＞0$，所以$f(x)$在$(-1,0)$上单调递减，在$(0,1)$上单调递增，A错误；对于B，当$x \in (-2,0)$时，$f^{\prime}(x)＜0$，所以$f(x)$在$(-2,0)$上单调递减，B错误；对于C，因为$f(x)$在$(-2,0)$上单调递减，所以$x = -1$不是$f(x)$的极小值点，C错误；对于D，当$x \in (0,2)$时，$f^{\prime}(x)＞0$，当$x \in (2,3)$时，$f^{\prime}(x)＜0$，所以$f(x)$在$(0,2)$上单调递增，在$(2,3)$上单调递减，所以$x = 2$是$f(x)$的极大值点，D正确.故选D.

2. [2023·福建南平高二月考] 函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，它的导函数$y=f'(x)$的部分图像如图，

则下列结论正确的是

A.$x=1$是$f(x)$的极小值点
B.$f(-2)＞f(-1)$
C.函数$f(x)$在$(-1,1)$上有极大值
D.函数$f(x)$有 3 个极值点

答案： 2.B 【解析】当$x＜-3$时，$f^{\prime}(x)＞0$，$f(x)$单调递增，当$-3＜x＜-1$时，$f^{\prime}(x)＜0$，$f(x)$单调递减，所以$f(-2)＞f(-1)$，因此B正确；当$-1＜x＜1$时，$f^{\prime}(x)＞0$，$f(x)$单调递增，所以$f(x)$在$(-1,1)$上没有极大值，因此C不正确；当$x＞0$时，$f^{\prime}(x) \geq 0$，$f(x)$单调递增，因此$x = 1$不是$f(x)$的极值点.由题图知，$x = -3$和$x = -1$是函数的极值点，所以A，D均不正确.故选B.

3. [2023·河北武安第三中学高二月考] 已知函数$f(x)=x^{2}-2x-4\ln x+3$，则$f(x)$的极小值为 (D)

A.2
B.$2-3\ln 2$
C.$\ln 2-3$
D.$3-4\ln 2$

答案： 3.D 【解析】函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，$f^{\prime}(x)=2x - 2 - \frac{4}{x} = \frac{2(x + 1)(x - 2)}{x}$.令$f^{\prime}(x)=0$，则$x = 2$或$x = -1$(舍去).当$x$变化时，$f^{\prime}(x)$，$f(x)$的变化情况如下表.
$x$ $(0,2)$ $2$ $(2,+\infty)$
$f^{\prime}(x)$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ 单调递减 极小值 单调递增
由表可知，当$x = 2$时，$f(x)$有极小值，并且极小值为$f(2)=4 - 4 - 4\ln 2 + 3 = 3 - 4\ln 2$.故选D.
方法总结 求函数极值的步骤
第一步，求出函数的导函数；
第二步，确定函数的单调区间；
第三步，依据极值的概念求出函数的极值.

4. [2023·内蒙古赤峰高二期末] 已知$f(x)=\frac{3x}{\mathrm{e}^{x}}$，则$f(x)$
(C)

A.在$(-\infty,+\infty)$上单调递增
B.在$(-\infty,1)$上单调递减
C.有极大值$\frac{3}{\mathrm{e}}$，无极小值
D.有极小值$\frac{3}{\mathrm{e}}$，无极大值

答案： 4.C 【解析】由$f(x)=\frac{3x}{e^{x}}$，得$f^{\prime}(x)=\frac{3 - 3x}{e^{x}}$.则当$x ＜ 1$时，$f^{\prime}(x)＞0$，当$x ＞ 1$时，$f^{\prime}(x)＜0$，所以$f(x)$在区间$(-\infty,1)$上单调递增，在区间$(1,+\infty)$上单调递减，所以当$x = 1$时，函数$f(x)$有极大值$f(1)=\frac{3}{e}$，无极小值.故选C.

5. [2023·宁夏银川一中高二期末] 已知函数$f(x)=x^{2}-8x+6\ln x+1$，则$f(x)$的极大值为-6.

答案： 5.-6 【解析】由$f(x)=x^{2}-8x + 6\ln x + 1$，得函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，且$f^{\prime}(x)=2x - 8 + \frac{6}{x}=\frac{2x^{2}-8x + 6}{x}$.令$f^{\prime}(x)=0$，得$x = 1$或$x = 3$.当$0＜x＜1$时，$f^{\prime}(x)＞0$；当$1＜x＜3$时，$f^{\prime}(x)＜0$；当$x＞3$时，$f^{\prime}(x)＞0$.故$x = 1$为函数$f(x)$的极大值点，且极大值为$f(1)= - 6$.

6. [2023·湖南师范大学附属中学高二期末] 已知函数$f(x)=ax^{2}+6\ln x,a\in \mathbf{R}$.
(1) 求$f(x)$的单调区间；
(2) 若$a=-3$，求函数$f(x)$的极值.

答案： 6.【解】
(1)由题意，得$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，且$f^{\prime}(x)=2ax+\frac{6}{x}=\frac{2ax^{2}+6}{x}$（注意讨论参数$a$，考虑$a \geq 0$和$a＜0$两种情况，得到函数的单调区间）.
当$a \geq 0$时，$f^{\prime}(x)＞0$，所以$f(x)$的单调递增区间为$(0,+\infty)$.
当$a＜0$时，令$f^{\prime}(x)=\frac{2ax^{2}+6}{x}=0$，解得$x=\sqrt{-\frac{3}{a}}$（负值已舍去）.
当$0＜x＜\sqrt{-\frac{3}{a}}$时，$f^{\prime}(x)＞0$；当$x＞\sqrt{-\frac{3}{a}}$时，$f^{\prime}(x)＜0$.
所以函数$f(x)$的单调递增区间为$\left(0,\sqrt{-\frac{3}{a}}\right)$，单调递减区间为$\left(\sqrt{-\frac{3}{a}},+\infty\right)$.
综上所述，当$a \geq 0$时，$f(x)$的单调递增区间为$(0,+\infty)$；当$a＜0$时，$f(x)$的单调递增区间为$\left(0,\sqrt{-\frac{3}{a}}\right)$，单调递减区间为$\left(\sqrt{-\frac{3}{a}},+\infty\right)$.
(2)当$a = - 3$时，$f^{\prime}(x)= - 6x+\frac{6}{x}=\frac{-6(x^{2}-1)}{x}$.
令$f^{\prime}(x)=0$，解得$x = 1$（负值已舍去）.
当$0＜x＜1$时，$f^{\prime}(x)＞0$，函数$f(x)$单调递增；当$x＞1$时，$f^{\prime}(x)＜0$，函数$f(x)$单调递减.
所以$f(x)$有极大值，且极大值为$f(1)= - 3$，无极小值.

7. [2023·陕西商洛高二期末] 已知函数$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{a}{x}$的一个极值点为 1，则$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\sqrt{2}+2\Delta x)-f(\sqrt{2}-\Delta x)}{\Delta x}=$
(D)

A.6
B.$\frac{3}{2}$
C.3
D.$\frac{9}{2}$

答案： 7.D 【解析】由$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{a}{x}$，得$f^{\prime}(x)=x^{2}+\frac{a}{x^{2}}$.因为$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{a}{x}$的一个极值点为$1$，所以$f^{\prime}(1)=1 + a = 0$，解得$a = - 1$.当$a = - 1$时，$f^{\prime}(x)=x^{2}-\frac{1}{x^{2}}$.因为$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\sqrt{2}+2\Delta x)-f(\sqrt{2}-\Delta x)}{3\Delta x}=3 × \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\sqrt{2}+2\Delta x)-f(\sqrt{2}-\Delta x)}{3\Delta x}$，又因为$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\sqrt{2}+2\Delta x)-f(\sqrt{2}-\Delta x)}{3\Delta x}=f^{\prime}(\sqrt{2})=\frac{3}{2}$，所以$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\sqrt{2}+2\Delta x)-f(\sqrt{2}-\Delta x)}{\Delta x}=3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$.故选D.

8. (多选) [2023·福建福州第三中学高二期末] 设$a\neq 0$，若$x=a$为函数$f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$的极大值点，则
(BCD)

A.$a＜b$
B.$ab＞0$
C.$ab＜b^{2}$
D.$a^{2}＜ab$

答案：
8.BCD 思维路径：先考虑函数的零点情况→注意零点附近的函数值是否变号，结合极大值点的性质对$a$进行分类讨论→画出$f(x)$的图像→得$a$，$b$所满足的关系.
【解析】若$a = b$，则$f(x)=a(x - a)^{3}$为单调函数，无极值点，不符合题意，故$a \neq b$.所以$f(x)$有$x = a$和$x = b$两个不同的零点，且在$x = a$附近的函数值不变号，在$x = b$附近的函数值变号.因为$x = a$为函数$f(x)=a(x - a)^{2}(x - b)$的极大值点，所以在$x = a$附近的函数值都小于零.
当$a＜0$时，由$x＞b$时，$f(x) \leq 0$，画出$f(x)$的图像如图
(1)，由图可知$b＜a$，$a＜0$，故$b^{2}＞ab＞a^{2}＞0$.
当$a＞0$时，由$x＞b$时，$f(x)＞0$，画出$f(x)$的图像如图
(2)，由图可知$b＞a$，$a＞0$，故$b^{2}＞ab＞a^{2}＞0$.
综上所述，$b^{2}＞ab＞a^{2}＞0$成立.故选BCD.