《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

9. [2023·青海西宁大通高二期末] 若函数$f(x)=\ln x-ax$在区间$(3,4)$上有极值点，则实数$a$的取值范围是($\frac{1}{4}$,$\frac{1}{3}$).

答案： 9.$\left( \frac{1}{4},\frac{1}{3} \right)$ 【解析】由题意得$f^{\prime}(x)=\frac{1 - ax}{x}$.若函数$f(x)=\ln x - ax$在$(3,4)$上有极值点，则$1 - ax = 0$在$x \in (3,4)$上有解（极值点与导数零点的转化），即$x=\frac{1}{a} \in (3,4)$，解得$\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{3}$.

10. [2023·河南大联考高二阶段性测试改编] 已知函数$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+a^{2}$在$x=-3$处有极值 36，求实数$a,b$的值.

答案： 10.【解】由题意，知$f^{\prime}(x)=3x^{2}+2ax + b$.
$\therefore f(-3)= - 27 + 9a - 3b + a^{2}=36$，$f^{\prime}(-3)=27 - 6a + b = 0$，
解得$\begin{cases}a = 3,\\b = - 9\end{cases}$或$\begin{cases}a = 6,\\b = 9\end{cases}$（求出$a$，$b$后，注意检验），
经检验，都符合题意.

11. 已知函数$f(x)=3x^{4}-8x^{3}+6x^{2}$，则$f(x)$ (D)

A.有 2 个极大值点
B.有 1 个极大值点和 1 个极小值点
C.有 2 个极小值点
D.有且仅有 1 个极值点

答案： 11.D 【解析】由题意，得$f^{\prime}(x)=12x^{3}-24x^{2}+12x = 12x(x^{2}-2x + 1)=12x(x - 1)^{2}$.因为$(x - 1)^{2} \geq 0$，当且仅当$x = 1$时，等号成立，所以当$x＜0$时，$f^{\prime}(x)＜0$；当$x＞0$时，$f^{\prime}(x) \geq 0$.所以函数$f(x)$的单调递增区间为$(0,+\infty)$，单调递减区间为$(-\infty,0)$，所以函数$f(x)$的极小值点为$x = 0$，没有极大值点，即函数$f(x)$有且仅有1个极值点.故选D.
易错规避：极值点处的导数为0，但导数等于0的点不一定是极值点.判断极值点时，一定要判断导数等于0时对应的$x$左右的导数值的符号.如本题易把$x = 1$误认为极值点而错选C.

12. 设$a\in \mathbf{R}$，若函数$f(x)=\mathrm{e}^{x}+ax$有大于零的极值点，则
(D)

A.$a＜-\frac{1}{\mathrm{e}}$
B.$a＞-\frac{1}{\mathrm{e}}$
C.$a＞-1$
D.$a＜-1$

答案： 12.D 【解析】由题意，得$f^{\prime}(x)=e^{x}+a$.显然当$a \geq 0$时，$f^{\prime}(x)＞0$，$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，无极值点，不符合题意，所以$a＜0$.令方程$f^{\prime}(x)=0$，则$x=\ln(-a)＞0$，所以$-a＞1$，即$a＜-1$.函数$f(x)$在$(0,\ln(-a))$上单调递减，在$(\ln(-a),+\infty)$上单调递增，所以$f(x)$有极小值，所以$a＜-1$.故选D.
易错规避：极值点指的是取极值时$x$的值，极值是指极值点对应的$f(x)$的值，所以有大于零的极值点，即方程$f^{\prime}(x)=0$有大于零的变号根.

13. 已知函数$f(x)=\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}$和$g(x)=\frac{\ln x}{x}+b$有相同的极大值，则$b=$
(A)

A.0
B.2
C.-1
D.-3

答案： 13.A 【解析】由题意，得$f^{\prime}(x)=\frac{1 - x}{e^{x}}$.令$f^{\prime}(x)＞0$，解得$x＜1$；令$f^{\prime}(x)＜0$，解得$x＞1.\therefore f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减，$\therefore f(x)$在$x = 1$处取得极大值，为$f(1)=\frac{1}{e}$.由题意，得$g^{\prime}(x)=\frac{1 - \ln x}{x^{2}}(x＞0)$.令$g^{\prime}(x)＜0$，解得$x＞e$；令$g^{\prime}(x)＞0$，解得$0＜x＜e.\therefore g(x)$在$(0,e)$上单调递增，在$(e,+\infty)$上单调递减，$\therefore g(x)$在$x = e$处取得极大值，为$g(e)=\frac{1}{e}+b.\because f(x)$和$g(x)$有相同的极大值，$\therefore f(1)=g(e)$，即$\frac{1}{e}=\frac{1}{e}+b$，解得$b = 0$.故选A.

14. [2023·四川成都外国语学校高二月考] 若函数$f(x)=m\mathrm{e}^{x}-x^{3}+2x(m＜0)$在$(0,1)$上有极值点，则实数$m$的取值范围为
(A)

A.$(-2,0)$
B.$\left(-2,-\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$
C.$\left(-\frac{1}{\mathrm{e}},0\right)$
D.$\left(-1,-\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$

答案： 14.A 【解析】由题意，得$f^{\prime}(x)=me^{x}-3x^{2}+2(m＜0)$.令$h(x)=me^{x}-3x^{2}+2(m＜0)$，则$h^{\prime}(x)=me^{x}-6x$.当$x \in (0,1)$时，$h^{\prime}(x)＜0$，所以$f^{\prime}(x)$在$(0,1)$上单调递减.因为函数$f(x)$在$(0,1)$上有极值点，所以$\begin{cases}f^{\prime}(0)=m + 2＞0,\\f^{\prime}(1)=me - 1＜0,\end{cases}$解得$-2＜m＜0$.故选A.

15. (多选) 设函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上可导，其导函数为$f'(x)$，且函数$y=(1-x)f'(x)$的图像如图，则下列结论一定成立的是
(BD)


A.函数$f(x)$有极大值$f(2)$
B.函数$f(x)$有极大值$f(-2)$
C.函数$f(x)$有极小值$f(-2)$
D.函数$f(x)$有极小值$f(2)$

答案： 15.BD 【解析】由题图知，当$x＜-2$时，$y＞0$，$1 - x＞0$，则$f^{\prime}(x)＞0$；当$-2＜x＜1$时，$y＜0$，$1 - x＞0$，则$f^{\prime}(x)＜0$；当$1＜x＜2$时，$y＞0$，$1 - x＜0$，则$f^{\prime}(x)＜0$；当$x＞2$时，$y＜0$，$1 - x＜0$，则$f^{\prime}(x)＞0$.综上所述，当$x＜-2$时，$f^{\prime}(x)＞0$；当$-2＜x＜2$时，$f^{\prime}(x)＜0$；当$x＞2$时，$f^{\prime}(x)＞0$.所以函数$f(x)$有极大值$f(-2)$，有极小值$f(2)$.故选BD.

16. (多选) [2023·贵州贵阳高二月考] 已知函数$f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-10$，下列结论正确的是(ABC)

A.$x=1$是$f(x)$的极小值点
B.$f(x)$有 3 个零点
C.曲线$y=f(x)$与直线$y=-12x-11$只有 1 个公共点
D.函数$y=f(x-1)$为奇函数

答案： 16.ABC 【解析】由题意，得$f^{\prime}(x)=3x^{2}+6x - 9 = 3(x + 3)(x - 1)$.令$f^{\prime}(x)=0$，解得$x = - 3$或$x = 1$.当$x$变化时，$f^{\prime}(x)$，$f(x)$的变化情况如下表.
$x$ $(-\infty,-3)$ $-3$ $(-3,1)$ $1$ $(1,+\infty)$
$f^{\prime}(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
则$x = 1$是$f(x)$的极小值点，A正确.因为$f(x)$极大值$=f(-3)=(-3)^{3}+3 × (-3)^{2}-9 × (-3)-10 = 17$，$f(x)$极小值$=f(1)=1^{3}+3 × 1^{2}-9 × 1-10 = - 15$，又$f(-5)=(-5)^{3}+3 × (-5)^{2}-9 × (-5)-10 = - 15$，$f(3)=3^{3}+3 × 3^{2}-9 × 3-10 = 17$，所以函数$f(x)$在$(-5,-3)$，$(-3,1)$，$(1,3)$上分别存在$1$个零点，故函数$f(x)$存在$3$个零点，B正确.联立$\begin{cases}y=x^{3}+3x^{2}-9x - 10,\\y=-12x - 11,\end{cases}$消去$y$并整理，得$x^{3}+3x^{2}+3x + 1 = 0$，化简得$(x + 1)^{3}=0$，解得$x = - 1$.所以曲线$y=f(x)$与直线$y=-12x - 11$只有一个公共点，C正确.令$g(x)=f(x - 1)=(x - 1)^{3}+3(x - 1)^{2}-9(x - 1)-10=x^{3}-12x + 1$，则$g(-x)=-x^{3}+12x + 1 \neq -g(x)$，所以函数$y=f(x - 1)$不是奇函数，D错误.故选ABC.

17. 函数$y=2|\sin x|+\sin x$在区间$(0,2\pi)$上的极大值是3或1.

答案： 17.3或1 【解析】[破题关键：解本题的关键是去绝对值符号，可分别在$x \in (0,\pi)$或$x \in [\pi,2\pi)$的情况下化简函数解析式]当$x \in (0,\pi)$时，$y = 2\sin x+\sin x = 3\sin x$，此时函数$y$在$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$上单调递增，在$\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$上单调递减，所以函数$y$在$x=\frac{\pi}{2}$处取得极大值，且极大值为$3\sin\frac{\pi}{2}=3$；当$x \in [\pi,2\pi)$时，$y = -2\sin x+\sin x = -\sin x$，此时函数$y$在$\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$上单调递增，在$\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$上单调递减，所以函数$y$在$x=\frac{3\pi}{2}$处取得极大值，且极大值为$-\sin\frac{3\pi}{2}=1$.综上所述，$y = 2|\sin x|+\sin x$在$(0,2\pi)$上的极大值为$3$或$1$.

18. [2023·陕西西安周至第六中学高二期末改编] 已知函数$f(x)=2ax^{3}+bx^{2}-6x$在$x=\pm 1$处取得极值，求$f(x)$的解析式，并讨论$f(1)$和$f(-1)$是函数$f(x)$的极大值还是极小值.

答案： 18.思维路径：求导函数→根据极值点得到$x = \pm 1$是关于$x$的方程$3ax^{2}+bx - 3 = 0$的两个实根→解得$a$，$b$的值→确定函数的单调性→得到极值.
【解】由题意，得$f^{\prime}(x)=6ax^{2}+2bx - 6 = 2(3ax^{2}+bx - 3)$.
因为$f(x)$在$x = \pm 1$处取得极值，
所以$x = \pm 1$是关于$x$的方程$3ax^{2}+bx - 3 = 0$的两个实根，
所以$\begin{cases}-\frac{b}{3a}=0,\\-\frac{3}{3a}=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 0.\end{cases}$
所以$f^{\prime}(x)=6x^{2}-6$.
令$f^{\prime}(x)＞0$，得$x＞1$或$x＜-1$；令$f^{\prime}(x)＜0$，得$-1＜x＜1$.
所以函数$f(x)$在$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$上单调递增，在$(-1,1)$上单调递减，
故$f(-1)$是函数$f(x)$的极大值，$f(1)$是函数$f(x)$的极小值.