《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

1.(多选)[2023·甘肃临夏中学高二月考]下列说法正确的有(AC)

A.等比数列中的项不能为0
B.等比数列的公比的取值范围是$\mathbf{R}$
C.若一个常数列是等比数列，则公比为1
D.$2^2,4^2,6^2,8^2$，⋯成等比数列

答案： AC 【解析】A显然正确;等比数列的公比不能为0,故B错误;C显然正确;由于$\frac{4^2}{2^2} \neq \frac{6^2}{4^2}$,故不是等比数列，D错误.故选AC.

2.若数列$\{ a_n \}$为等比数列,$a_1 = 2,a_2 = 6$,则公比$q =$ (C)

A.-4
B.$\frac{1}{3}$
C.3
D.4

答案： C 【解析】由题意,得$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{2} = 3$.故选C.

3.若$a,b,c$成等比数列且公比为$q$,则$\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$(C)

A.不一定是等比数列
B.一定不是等比数列
C.一定是等比数列，且公比为$\frac{1}{q}$
D.一定是等比数列，且公比为$q$

答案： C 【解析】因为$a,b,c$成等比数列且公比为$q$,所以$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = q$,所以$\frac{1}{a} ,\frac{1}{b} ,\frac{1}{c}$成等比数列，并且公比为$\frac{1}{q^2}$.因为$\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}} = \frac{a}{b} = \frac{1}{q}$，$\frac{\frac{1}{c}}{\frac{1}{b}} = \frac{b}{c} = \frac{1}{q}$，所以公比为$\frac{1}{q^2}$.故选C.

4.等比数列$\{ a_n \}$中，$a_2 = 4,a_4 = 16$,则$a_2$与$a_4$的等比中项为(C)

A.8
B.10
C.$\pm 8$
D.$\pm 10$

答案： C 【解析】$a_2$与$a_4$的等比中项满足$a_3^2 = a_2a_4 = 4×16 = 64$，故$a_3 = ±8$.选C.

5.[2023·湖北武汉部分重点中学高二期中]在等比数列$\{ a_n \}$中，$a_1 = 1,a_5 = 5$,则$a_2a_3a_4$的值为(A)

A.$\pm 5 \sqrt{5}$
B.$-5 \sqrt{5}$
C.$\pm \sqrt{5}$
D.$5 \sqrt{5}$

答案： A 【解析】由$a_1a_5 = a_3^2 = 5$，得$a_3 = ±\sqrt{5}$.因为$a_1,a_3,a_5$都为奇数项，在等比数列中应该为同号，所以$a_3 = \sqrt{5}$，故$a_2a_3a_4 = a_3^3 = 5\sqrt{5}$.选A.

6.[2023·黑龙江双鸭山友谊高级中学高二期末]如果$-1,a,b,c,-16$成等比数列，那么(B)

A.$b = 4,ac = 16$
B.$b = -4,ac = 16$
C.$b = 4,ac = -16$
D.$b = -4,ac = -16$

答案： B 【解析】因为$-1,a,b,c,-16$成等比数列，所以由等比中项的性质可得$b^2 = (-1)×(-16) = 16$，解得$b = 4$或$b = -4$.又$a^2 = -b＞0$，所以$b＜0$，所以$b = -4$，故$ac = b^2 = 16$.选B.

7.在$2,x,8,y$四个数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则$x - y =$-8或-24.

答案： -8或-24 【解析】由题意，得$x^2 = 16$，$16 = x + y$，解得$\begin{cases} x = 4 \\ y = 12 \end{cases}$或$\begin{cases} x = -4 \\ y = 20 \end{cases}$.所以$x - y = -8$或$x - y = -24$.

8.[2023·河南南阳六校高二联考]在等比数列$\{ a_n \}$中，$a_1a_2a_3 = 1,a_3a_4a_5 = 6$,则$a_7a_8a_9$的值为(C)

A.48
B.72
C.216
D.192

答案： C 【解析】方法一：由$a_1a_2a_3 = 1$，得$a_1^3q^3 = 1$.由$a_3a_4a_5 = 6$，得$a_1^3q^9 = 6$（用通项公式转化）.所以$\frac{a_1^3q^9}{a_1^3q^3} = q^6 = 6$，所以$a_7a_8a_9 = a_1^3q^{21} = a_1^3q^{18}·q^3 = 6^3 = 216$.故选C.
方法二：由$a_1a_2a_3 = 1$，得$a_2^3 = 1$.由$a_3a_4a_5 = 6$，得$a_4^3 = 6$（用等比中项转化）.所以$q^6 = \frac{a_4^3}{a_2^3} = 6$，所以$a_7a_8a_9 = a_1a_2a_3q^{18} = q^{18} = 6^3 = 216$.故选C.
方法总结：关于$a_1$和$q$的两种求法
(1)根据已知条件，建立关于$a_1,q$的方程组，求出$a_1,q$，这是常规方法.
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出$q$，再求$a_1$，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.

9.[2023·河南安阳重点高中高二开学考试]在各项均为正数且递增的等比数列$\{ a_n \}$中，$a_1a_7 = 576$,$a_3 + a_4 + a_5 = 84$,则$a_9 =$ (D)

A.96
B.192
C.384
D.768

答案： D 【解析】设等比数列的公比为$q$.因为数列$\{ a_n \}$为正项且递增的等比数列，所以$a_1＞0$，$q＞1$，$a_n＞0$.由$a_1a_7 = a_4^2 = 576$，得$a_4 = 24$，所以$a_3 + a_5 = 60$，则$\begin{cases} a_1q^3 = 24 \\ a_1q^2 + a_1q^4 = 60 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a_1 = 3 \\ q = 2 \end{cases}$或$\begin{cases} a_1 = 192 \\ q = \frac{1}{2} \end{cases}$（舍去），故$a_9 = a_1q^8 = 768$.选D.

10.[2023·广东佛山西樵高级中学高二段考]在等比数列$\{ a_n \}$中，$a_1 = 1,a_4 = 4$,则16是$\{ a_n \}$中的(B)

A.第6项
B.第7项
C.第8项
D.第9项

答案： B 【解析】设等比数列$\{ a_n \}$的公比为$q$.因为$a_1 = 1$，$a_4 = 4$，所以$q^3 = 4$，解得$q = 2^{\frac{2}{3}}$.所以该数列的通项$a_n = q^{n - 1} = 2^{\frac{2}{3}(n - 1)}$.由$a_n = 2^{\frac{2}{3}(n - 1)} = 16$，得$n = 7$，则16是$\{ a_n \}$中的第7项.故选B.

11.[2023·陕西咸阳高二期末]已知$\{ a_n \}$是递增的等比数列，且$a_2 ＜ 0$,则其公比$q$满足(D)

A.$q ＜ -1$
B.$-1 ＜ q ＜ 0$
C.$q ＞ 1$
D.$0 ＜ q ＜ 1$

答案： D 【解析】因为$\{ a_n \}$是等比数列，所以$a_n = a_1q^{n - 1}$.当$q＜0$时，$\{ a_n \}$的各项正负项间隔，为摆动数列，不符合题意，故$q＞0$.显然$q≠1$.由$a_2 = a_1q＜0$，得$a_1＜0$.又$\{ a_n \}$是递增的等比数列，所以$\{ q^{n - 1} \}$为递减数列.由指数函数的单调性知$0＜q＜1$.故选D.

12.[2022·北京十二中高二期末]下列命题正确的是(D)

A.若等比数列$\{ a_n \}$的公比满足$q ＞ 1$,则数列$\{ a_n \}$为递增数列
B.若等比数列$\{ a_n \}$的公比满足$0 ＜ q ＜ 1$,则数列$\{ a_n \}$为递减数列
C.常数列既是等差数列又是等比数列
D.若$\{ a_n \}$是等差数列，则$\{ 2^{a_n} \}$是等比数列

答案： D 【解析】对于A，若等比数列$\{ a_n \}$的首项$a_1 = -1$，公比$q = 2$，则数列$\{ a_n \}$为递减数列，故A错误.对于B，若等比数列$\{ a_n \}$的首项$a_1 = -1$，公比$q = \frac{1}{2}$，则数列$\{ a_n \}$为递增数列，故B错误.对于C，若常数列$\{ a_n \}$满足$a_n = 0$，则$\{ a_n \}$不是等比数列，故C错误.对于D，设$a_n = kn + b(k,b \in \mathbf{R})$，则$2^{a_{n + 1}} = 2^{k(n + 1) + b} = 2^{kn + b + k}$.又$\frac{2^{k(n + 1) + b}}{2^{kn + b}} = 2^{k}$为常数且不为0，所以$\{ 2^{a_n} \}$是等比数列，故D正确.选D.
方法总结：等比数列的单调性
(1)若$a_1＞0$，$q＞0$，则$c = \frac{a_1}{q}＞0$：
①当$q＞1$时，函数$y = cq^x$递增，数列$a_n = a_1q^{n - 1}$递增；
②当$0＜q＜1$时，函数$y = cq^x$递减，数列$a_n = a_1q^{n - 1}$递减.
(2)若$a_1＜0$，$q＞0$，则$c = \frac{a_1}{q}＜0$：
①当$q＞1$时，函数$y = cq^x$递减，数列$a_n = a_1q^{n - 1}$递减；
②当$0＜q＜1$时，函数$y = cq^x$递增，数列$a_n = a_1q^{n - 1}$递增.