《2025年练习生高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2023·天津河西高二期末] 函数$y = \frac{\sin 2x}{\sqrt{x}}$的导数为
(B)

A.$y' = \frac{\cos 2x}{\sqrt{x}}     \frac{\sin 2x}{2x\sqrt{x}}$
B.$y' = \frac{2\cos 2x}{\sqrt{x}} - \frac{\sin 2x}{2x\sqrt{x}}$
C.$y' = \frac{2\cos x}{\sqrt{x}} - \frac{\sin 2x}{2x\sqrt{x}}$
D.$y' = \frac{2\cos 2x}{\sqrt{x}} - \frac{\sin 2x}{x\sqrt{x}}$

答案： 1.B 【解析】因为$y = \frac{\sin 2x}{\sqrt{x}}$（利用复合函数的求导法则及商的导数运算法则求解），所以$y^\prime = \frac{\cos 2x · 2\sqrt{x} - \sin 2x · \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{4x\cos 2x - \sin 2x}{2x\sqrt{x}} = \frac{2\cos 2x}{ \sqrt{x}} - \frac{\sin 2x}{2x\sqrt{x}}$. 故选B.

2. (多选)下列求导正确的是
(ABD)

A.若$y = \frac{\ln x}{x}$，则$y' = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$
B.若$y = xe^{x}$，则$y' = (x + 1)e^{x}$
C.$[\ln(3x + 2)]' = \frac{1}{3x + 2}$
D.若$y = \cos 2x$，则$y' = - 2\sin 2x$

答案： 2.ABD 【解析】对于A,$y = \frac{\ln x}{x}$的导数为$y^\prime = (\frac{\ln x}{x})^\prime = \frac{\frac{1}{x} · x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$,A正确;对于B,$y = xe^x$的导数为$y^\prime = (xe^x)^\prime = e^x + xe^x = (1 + x)e^x$,B正确;对于C,$[\ln(3x + 2)]^\prime = \frac{3}{3x + 2}$,C错误;对于D,$y = \cos 2x$的导数为$y^\prime = (\cos 2x)^\prime = -2\sin 2x$(正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为负的正弦函数),D正确. 故选ABD.

3. [2023·陕西商洛高二期末] 已知函数$f(x) =$ $\sin 2x$，则$f'(\frac{\pi}{3}) =$-1

答案： 3.-1 【解析】由题意,得$f^\prime(x) = 2\cos 2x$.所以$f^\prime(\frac{\pi}{3}) = 2\cos\frac{2\pi}{3} = -2\cos\frac{\pi}{3} = -1$.

4. 求下列函数的导数：
(1)$y = \frac{\ln(2x + 1)}{x}$；
(2)$y = \ln(2x - 5)$；
(3)$y = x\sin(2x + \frac{\pi}{2})\cos(2x + \frac{\pi}{2})$.

答案： 4.【解】
(1)$y^\prime = [\frac{\ln(2x + 1)}{x}]^\prime = \frac{[\ln(2x + 1)]^\prime x - \ln(2x + 1)(x)^\prime}{x^2} = \frac{\frac{2}{2x + 1} · x - \ln(2x + 1)}{x^2} = \frac{2x}{2x + 1} - \frac{\ln(2x + 1)}{x^2} = \frac{2x - (2x + 1)\ln(2x + 1)}{(2x + 1)x^2}$
(2)令$u = 2x - 5$,$y = \ln u$,则$y^\prime = (\ln u)^\prime · (u)^\prime = \frac{1}{u} · 2 = \frac{2}{2x - 5}$
(3)因为$y = x\sin(2x + \frac{\pi}{2})\cos(2x + \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}x\sin(4x + \pi) = -\frac{1}{2}x\sin 4x$,
所以$y^\prime = (-\frac{1}{2}x)^\prime\sin 4x + (-\frac{1}{2}x)(\sin 4x)^\prime = -\frac{1}{2}\sin 4x - \frac{1}{2}x · 4\cos 4x = -\frac{1}{2}\sin 4x - 2x\cos 4x$.
方法总结 求复合函数导数的步骤
第一步,分析函数的结构形式;
第二步,选择合适的公式,由基本初等函数的导数、简单复合函数的导数的相关公式求导.
需要特别注意的是,对某些较复杂函数的表达式可先化简再进行求导.

5. 已知函数$f(x) = \sin 2x + f'(0)\cos x - 1$，则$f(0) =$
(C)

A.-1
B.0
C.1
D.2

答案： 5.C 【解析】由题意,得$f^\prime(x) = 2\cos 2x - f^\prime(0)\sin x$.令$x = 0$,则$f^\prime(0) = 2\cos^0 - f^\prime(0)\sin^0 = 2 - f^\prime(0)$,解得$f^\prime(0) = 2$.故$f(x) = \sin 2x + 2\cos x - 1$,所以$f(0) = 0 + 2 - 1 = 1$. 故选C.

6. [2023·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学高二期末] 已知函数$f(x) = a^{x} + \ln(x + 1),f'(0) = 4$，则$a =$$e^3$.

答案： 6.$e^3$ 【解析】由题意,得$f^\prime(x) = a^x\ln a + \frac{1}{x + 1}$.则$f^\prime(0) = \ln a + 1 = 4$,解得$a = e^3$.

7. [2023·江苏南京大学附属中学高二期末] 已知$f(x) = e^{2x} - xf'(0)$，则$f'(1) =$$2e^2-1$.

答案： 7.$2e^2 - 1$ 【解析】由题意,得$f^\prime(x) = 2e^{2x} - f^\prime(0)$.所以$f^\prime(0) = 2e^0 - f^\prime(0) = 2 - f^\prime(0)$,解得$f^\prime(0) = 1$.故$f^\prime(x) = 2e^{2x} - 1$,所以$f^\prime(1) = 2e^2 - 1$.

8. 函数$f(x) = \ln(3x - 2) - 2x$的图像在点$(1,f(1))$处的切线方程为
(D)

A.$x + y + 1 = 0$
B.$x + 2y + 3 = 0$
C.$x - 2y - 3 = 0$
D.$x - y - 3 = 0$

答案： 8.D 【解析】由题意,得$f^\prime(x) = \frac{3}{3x - 2} - 2$,则切线的斜率为$f^\prime(1) = 3 - 2 = 1$.又$f(1) = -2$,所以切线方程为$y - (-2) = 1 × (x - 1)$,即$x - y - 3 = 0$. 故选D.

9. [2023·江苏常州奔牛高级中学高二期末] 函数$f(x) = \sqrt{2x + 1}$，则函数$f(x)$的图像在$x = 4$处的切线的斜率为1/3.

答案： 9.$\frac{1}{3}$ 【解析】由题意,得$f^\prime(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$,则函数$f(x)$的图象在$x = 4$处的切线的斜率为$f^\prime(4) = \frac{1}{3}$.

10. [2023·河南商丘名校高二联考] 函数$f(x) = x\ln( - x)$，则曲线$y = f(x)$在$x = - e$处的切线方程为2x-y+e=0.

答案： 10.$2x - y + e = 0$ 【解析】由题意,得$f^\prime(x) = \ln(-x) + x · \frac{-1}{-x} = \ln(-x) + 1$,所以切线的斜率为$f^\prime(-e) = \ln e + 1 = 2$.又$f(-e) = -e$,所以曲线$y = f(x)$在$x = -e$处的切线方程为$y + e = 2(x + e)$,即$2x - y + e = 0$.

11. [2023·湖北孝感高二期中] 若曲线$y = e^{ax}$在点$(0,1)$处的切线与直线$3x - y + 1 = 0$垂直，则实数$a$的值是-1/3.

答案： 11.$-\frac{1}{3}$ 【解析】由题意,得曲线$y = e^{ax}$在点$(0,1)$处的切线的斜率为$-\frac{1}{3}$,$y^\prime = a · e^{ax}$,所以$y^\prime|_{x = 0} = a = -\frac{1}{3}$,则$a = -\frac{1}{3}$

12. 若$y = \log_{a}(2x^{2} - 1)$，则$y' =$
(A)

A.$\frac{4x}{(2x^{2} - 1)\ln a}$
B.$\frac{4x}{2x^{2} - 1}$
C.$\frac{1}{(2x^{2} - 1)\ln a}$
D.$\frac{2x^{2} - 1}{\ln a}$

答案： 12.A 【解析】$\because y = \log_a(2x^2 - 1),\therefore y^\prime = \frac{(2x^2 - 1)^\prime}{(2x^2 - 1)\ln a} = \frac{4x}{(2x^2 - 1)\ln a}$. 故选A.
易错规避 本题中设$t = 2x^2 - 1$,则函数$y = \log_a(2x^2 - 1) = \log_a t$是复合函数,其导数为$y^\prime = \frac{t^\prime}{t\ln a}$
注意将$t = 2x^2 - 1$代入分母,将其导数代入分子.