《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 在$\triangle ABC$中，若$AB=\sqrt{13}$,$BC=3$,$\angle C=120°$，则$AC=$

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1.A 设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a=3，c=$\sqrt{13}$，$\angle C=120°$，由余弦定理，得$13=9+b^{2}+3b$，解得$b=1$，即$AC=1$。

2. 如果等腰三角形的周长是底边边长的$5$倍，那么它的顶角的余弦值为

A.$\frac{5}{18}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{7}{8}$

答案：
2.D 设等腰三角形的底边边长为$x$，则两腰长为$2x$(如图)，

由余弦定理得$\cos A=\frac{4x^{2}+4x^{2}-x^{2}}{2·2x·2x}=\frac{7}{8}$，故
选D。

3. (多选)在$\triangle ABC$中，已知$A=30°$，且$3a=\sqrt{3}b=12$，则$c$的值为

A.4
B.8
C.4或6
D.无解

答案： 3.AB 由$3a=\sqrt{3}b=12$，得$a=4$，$b=4\sqrt{3}$，
利用余弦定理可得$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，
即$16=48+c^{2}-12c$，解得$c=4$或$c=8$。

4. 在$\triangle ABC$中，若$a＜b＜c$,且$c^2＜a^2+b^2$,则$\triangle ABC$为

A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不存在

答案： 4.B $\because c^{2}＜a^{2}+b^{2}$，$\therefore \angle C$为锐角。$\because a＜b＜c$，$\therefore \angle C$为最大角，$\therefore \triangle ABC$为锐角三角形。

5. $\triangle ABC$中，角$A$、$B$、$C$的对边分别是$a$、$b$、$c$，已知$b=c$,$a^2=2b^2(1-\sin A)$，则$A=$

A.$\frac{3\pi}{4}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{\pi}{4}$
D.$\frac{\pi}{6}$

答案： 5.C 由余弦定理得$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=2b^{2}-2b^{2}\cos A$，所以$2b^{2}(1-\sin A)=2b^{2}(1-\cos A)$，所以$\sin A=\cos A$，即$\tan A=1$，又$0＜A＜\pi$，所以$A=\frac{\pi}{4}$。

6. 已知$\triangle ABC$的三边长$a=3$,$b=5$,$c=6$，则$\triangle ABC$的面积为

A.$\sqrt{14}$
B.$2\sqrt{14}$
C.$\sqrt{15}$
D.$2\sqrt{15}$

答案： 6.B 由余弦定理可得$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{25+36-9}{2×5×6}=\frac{13}{15}$，所以$\sin A=\frac{2\sqrt{14}}{15}$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}×5×6×\frac{2\sqrt{14}}{15}=2\sqrt{14}$。

7. 在$\triangle ABC$中，$B=45°$,$AC=\sqrt{10}$,$AB=2$，则$BC=$$3\sqrt{2}$.

答案： 7.$3\sqrt{2}$ 由余弦定理得$AC^{2}=BC^{2}+AB^{2}-2BC· AB\cos B$，又因为$B=45°$，$AC=\sqrt{10}$，$AB=2$，所以$(\sqrt{10})^{2}=BC^{2}+2^{2}-2× BC×2×\cos45°$，整理，得$BC^{2}-2\sqrt{2}BC-6=0$，所以$(BC-3\sqrt{2})(BC+\sqrt{2})=0$，解得$BC=3\sqrt{2}$或$BC=-\sqrt{2}$(舍去)，所以$BC$边的长为$3\sqrt{2}$。

8. 在$\triangle ABC$中，$a$,$b$,$c$分别为$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$的对边，$b=\sqrt{2}$,$c=1+\sqrt{3}$，且$a^2=b^2+c^2-2bc\sin A$，则边$a=$2.

答案： 8.2 由已知及余弦定理，得$\sin A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\cos A$，$\therefore A=45°$，$\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos45°=4$，$a=2$。

9. 在$\triangle ABC$中，已知$a=2\sqrt{6}$,$b=6+2\sqrt{3}$,$c=4\sqrt{3}$，求角$A$、$B$、$C$.

答案： 9.在$\triangle ABC$中，由余弦定理，得
$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{(2\sqrt{6})^{2}+(6+2\sqrt{3})^{2}-(4\sqrt{3})^{2}}{2×2\sqrt{6}×(6+2\sqrt{3})}=\frac{24(\sqrt{3}+1)}{24\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\therefore C=45°$；同理$A=30°$。
$\therefore B=180°-(A+C)=180°-(30°+45°)=105°$。

10. 在$\triangle ABC$中，$b=a\sin C$,$c=a\cos B$，试判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 10.由余弦定理知$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$，
代入$c=a\cos B$，得$c=a·\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$，
$\therefore c^{2}+b^{2}=a^{2}$。
$\therefore \triangle ABC$是以$A$为直角的直角三角形。
又$\because b=a\sin C$，$\therefore b=a·\frac{c}{a}$，$\therefore b=c$。
$\therefore \triangle ABC$也是等腰三角形。
综上所述，$\triangle ABC$是等腰直角三角形。