《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

3.(多选)下列与$412°$角的终边相同的角是 (ACD)

A.$52°$
B.$778°$
C.$-308°$
D.$1132°$

答案： 3.ACD 因为$412° = 360° + 52°$，所以与$412°$角的终边相同的角为$\beta = k·360° + 52°$，$k\in\mathbf{Z}$。当$k = -1$时，$\beta = -308°$；当$k = 0$时，$\beta = 52°$；当$k = 2$时，$\beta = 772°$；当$k = 3$时，$\beta = 1132°$。综上，ACD正确。

4.(多选)下列条件中，能使$\alpha$和$\beta$的终边关于$y$轴对称的是 (BD)

A.$\alpha + \beta = 90°$
B.$\alpha + \beta = 180°$
C.$\alpha + \beta = k · 360° + 90°(k \in \mathbf{Z})$
D.$\alpha + \beta = (2k + 1) · 180°(k \in \mathbf{Z})$

答案：
4.BD 假设$\alpha,\beta$为$0°\sim180°$内的角，如图所示，因为$\alpha,\beta$的终边关于$y$轴对称，所以$\alpha + \beta = 180°$，所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得$\alpha + \beta = k·360° + 180° = (2k + 1)·180°(k\in\mathbf{Z})$，所以D满足条件，A、C都不满足条件。

5.与$-500°$角的终边相同的最小正角是220°，最大负角是-140°.

答案： 5.$220° - 140°$ 与$-500°$角的终边相同的角可表示为$\alpha = k·360° - 500°(k\in\mathbf{Z})$，当$k = 2$时$\alpha = 220°$为最小正角，当$k = 1$时$\alpha = -140°$为最大负角。

6.已知角$\beta$的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么$\beta \in$$\{\alpha|n·180° + 30° ＜ \alpha ＜ n·180° + 150°,n\in\mathbf{Z}\}$.

答案： 6.$\{\alpha|n·180° + 30° ＜ \alpha ＜ n·180° + 150°,n\in\mathbf{Z}\}$ 在$0°\sim360°$范围内，终边落在阴影内的角$\alpha$的取值范围为$30° ＜ \alpha ＜ 150°$与$210° ＜ \alpha ＜ 330°$，所以所有满足题意的角$\alpha$的集合为$\{\alpha|k·360° + 30° ＜ \alpha ＜ k·360° + 150°,k\in\mathbf{Z}\}\cup\{\alpha|k·360° + 210° ＜ \alpha ＜ k·360° + 330°,k\in\mathbf{Z}\} = \{\alpha|2k·180° + 30° ＜ \alpha ＜ (2k + 1)·180° + 150°,k\in\mathbf{Z}\} = \{\alpha|n·180° + 30° ＜ \alpha ＜ n·180° + 150°,n\in\mathbf{Z}\}$。

7.已知$\alpha = -1910°$.
(1)把$\alpha$写成$\beta + k · 360°(k \in \mathbf{Z},0° \leqslant \beta \leqslant 360°)$的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求$\theta$，使$\theta$与$\alpha$的终边相同，且$-720° \leqslant \theta ＜ 0°$.

答案： 7.
(1)设$\alpha = \beta + k·360°(k\in\mathbf{Z})$，
则$\beta = -1910° - k·360°(k\in\mathbf{Z})$。
令$-1910° - k·360°\geqslant0°$，
解得$k\leqslant-\frac{1910}{360} = -5\frac{11}{36}$。
$k$的最大整数解为$k = -6$，求出相应的$\beta = 250°$，
于是$\alpha = 250° - 6×360°$，它是第三象限角。
(2)令$\theta = 250° + n·360°(n\in\mathbf{Z})$，
取$n = -1,-2$就得到符合$-720°\leqslant\theta ＜ 0°$的角。
$250° - 360° = -110°$，$250° - 720° = -470°$。
故$\theta = -110°$或$\theta = -470°$。

8.已知角$\beta$的终边在直线$\sqrt{3}x - y = 0$上.
(1)写出角$\beta$的集合$S$；
(2)写出$S$中适合不等式$-360° \leqslant \beta ＜ 720°$的元素.

答案：
8.
(1)如图，直线$\sqrt{3}x - y = 0$过原点，倾斜角为$60°$，在$0°\sim360°$范围内，终边落在射线$OA$上的角是$60°$，终边落在射线$OB$上的角是$240°$，所以以射线$OA$、$OB$为终边的角的集合为：
$S_1 = \{\beta|\beta = 60° + k·360°,k\in\mathbf{Z}\}$，$S_2 = \{\beta|\beta = 240° + k·360°,k\in\mathbf{Z}\}$，
所以，角$\beta$的集合$S = S_1\cup S_2 = \{\beta|\beta = 60° + k·360°,k\in\mathbf{Z}\}\cup\{\beta|\beta = 60° + 180° + k·360°,k\in\mathbf{Z}\} = \{\beta|\beta = 60° + 2k·180°,k\in\mathbf{Z}\}\cup\{\beta|\beta = 60° + (2k + 1)·180°,k\in\mathbf{Z}\} = \{\beta|\beta = 60° + n·180°,n\in\mathbf{Z}\}$。
(2)由于$-360°\leqslant\beta ＜ 720°$，即$-360°\leqslant60° + n·180° ＜ 720°$，$n\in\mathbf{Z}$，
解得$-\frac{7}{3}\leqslant n ＜ \frac{11}{3}$，$n\in\mathbf{Z}$，所以$n = -2,-1,0,1,2,3$。
所以$S$中适合不等式$-360°\leqslant\beta ＜ 720°$的元素为：
$60° - 2×180° = -300°$；
$60° - 1×180° = -120°$；
$60° - 0×180° = 60°$；
$60° + 1×180° = 240°$；
$60° + 2×180° = 420°$；
$60° + 3×180° = 600°$。