《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 已知$|\overrightarrow{AB}| = 10,|\overrightarrow{AC}| = 7$,则$|\overrightarrow{BC}|$的取值范围是 (A)

A.$[3,17]$
B.$(3,17)$
C.$(3,10)$
D.$[3,10]$

答案： 1．A 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$共线时的情况求解.
即$|\overrightarrow{AB}|-|\overrightarrow{AC}|\leq|\overrightarrow{BC}|\leq|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{AB}|$，故$3\leq|\overrightarrow{BC}|\leq17$.

2. 如图所示的方格纸中有定点$O,P,Q,E,F,G,H$,则$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ} =$
(C)

A.$\overrightarrow{OH}$
B.$\overrightarrow{OG}$
C.$\overrightarrow{FO}$
D.$\overrightarrow{EO}$

答案： 2．C $\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{FO}$.

3. 若$M$为$\triangle ABC$的重心,则下列各向量中与$\overrightarrow{AB}$共线的是 (C)

A.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}$
B.$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}$
C.$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}$
D.$3\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}$

答案： 3．C 由三角形重心性质得$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=0$.

4. (多选)如图,在平行四边形$ABCD$中,下列计算正确的是 (BCD)

A.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OA}$
B.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
C.$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$
D.$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=\boldsymbol{0}$

答案： 4．BCD 根据向量加法运算及其几何意义，相反向量的概念，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DO}$，故A错误；$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$，故B正确；$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$，故C正确；$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=0$，故D正确.故选BCD.

5. 某人在静水中游泳,速度为$4\sqrt{3} km/h$.如果他向垂直于河对岸的方向游向河对岸,水的流速为$4 km/h$,他实际沿与水流方向成60°的(答案不唯一)方向前进,速度为$8 km/h$.

答案：
5．沿与水流方向成60°的(答案不唯一)
$8 km/h$ $\because OB=4\sqrt{3},OA=4$，
$\therefore OC=8,\therefore\angle COA=60°$.

6. 在菱形$ABCD$中,$\angle ABC = 120^{\circ}$,向量$|\overrightarrow{AB}| = 2$,则$\left|\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})\right| =$$\sqrt{3}$.

答案： 6．$\sqrt{3}$ 因为在菱形$ABCD$中，$\angle ABC=120°$，所以$\angle BAD=60°$，
又$AB=AD=2$，所以$\triangle ABD$为等边三角形，因此$BD=2$，连接$AC$与$BD$且交于$O$点，则$\triangle ABO$为$Rt\triangle$，且$AB=2,BO=1,AO\bot BO$，所以 $AO=\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{3}$，所以$|\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})|=|\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}|=|\overrightarrow{AO}|=\sqrt{3}$.

7. 如图所示,$P,Q$是$\triangle ABC$的边$BC$上两点,且$BP = QC$. 求证：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$.

答案： 7．$\because\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{QC}$，
$\therefore\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{QC}$.
$\because\overrightarrow{PB}$与$\overrightarrow{QC}$大小相等，方向相反，
$\therefore\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{QC}=0$.
故$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}+0=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$.

8. 如图所示,已知矩形$ABCD$中,$|\overrightarrow{AD}| = 4\sqrt{3}$,设$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a},\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{b},\overrightarrow{BD} = \boldsymbol{c}$,试求$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}|$的大小.

答案：
8．如图所示，过$D$作$AC$的平行线，交$BC$的延长线于点$E$.
$\because DE// AC,AD// BE$，
$\therefore$四边形$ADEC$为平行四边形，
$\therefore DE=AC,\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AD}$，
于是$a+b+c=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}$，
$\therefore|a+b+c|=|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}|=8\sqrt{3}$.