《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

2. (多选)下列是周期现象的有(ABC)

A.地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化
B.海水在月球和太阳引力作用下发生的涨落现象
C.做简谐运动的物体的位移变化情形
D.连续掷一枚均匀骰子，出现点数为$1,2,3,4,5,6$的情况

答案： 2.ABC D不是周期现象，A，B，C均为周期现象.

3. 已知函数$f(x)$是$\mathbf{R}$上的偶函数，$g(x)$是$\mathbf{R}$上的奇函数，且$g(x)=f(x - 1)$，若$f(4)=2$，则$f(2024)$的值为(A)

A.$2$
B.$0$
C.$-2$
D.$\pm2$

答案： 3.A
∵$f(x)$是R上的偶函数，$g(x)$是R上的奇函数，且$g(x)=f(x - 1)$，
∴$g(-x)=f(-x - 1)=f(x + 1)=-g(x)=-f(x - 1)$，即$f(x + 1)=-f(x - 1)$.
∴$f(x + 2)=-f(x)$.
∴$f(x + 4)=f[(x + 2)+2]=-f(x + 2)=f(x)$.
∴函数$f(x)$是周期函数，且周期为4.
∴$f(2024)=f(4)=2$.

4. (多选)已知定义在$\mathbf{R}$的奇函数$f(x)$满足$f(x + 8)= f(x)$，$f(x)$的图象关于$x = 2$对称，且在区间$[0,2]$上是增函数，若关于$x$的方程$f(x)=m$在区间$[-8,8]$上有根，则所有根的和为(ABCD)

A.$0$
B.$\pm4$
C.$8$
D.$-8$

答案：
4.ABCD 由周期性，奇偶性，对称性，作图如下

由图中$m_1$，$m_2$，$m_3$，$m_4$，$m_5$五条直线可知，关于x的方程$f(x)-m = 0$在区间$[-8,8]$上有根，则所有根的和可能为0或$\pm4$或$\pm8$.

5. 已知地球的自转周期约为$24$小时，其绕太阳的公转周期约为$365$天.木星的自转周期约为$10$小时，公转周期约为$12$年.
(1)如果地球自转$5$周，那么木星自转12周；
(2)如果在木星上生活$10$年，那么等于在地球上生活120年.

答案： 5.
(1)12
(2)120
(1)$5×\frac{24}{10}=12$.
(2)$10×\frac{12}{1}=120$.

6. 如图所示的弹簧振子在$A$、$B$之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过$M$，$N$两点，经历的时间为$t_1 = 1 s$，过$N$点后，再经过$t_2 = 1 s$第一次反向通过$N$点，则振子的振动周期$T =$4$ s$.

答案： 6.4 设振子的振动周期为T，则振子由平衡位置O运动到B的时间为$\frac{T}{4}$，而振子以相同的速度通过$M、N$的时间为$t_1 = 1s$，则O到N的时间为$\frac{t_1}{2}$，又向右经$N—B—N$的时间为$t_2 = 1$，则N到B的时间为$\frac{t_2}{2}$，$\therefore\frac{T}{4}=\frac{t_1}{2}+\frac{t_2}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.$\therefore T = 4s$.

7. 游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要$12$分钟，其中轮心$O$距离地面$40.5$米，半径$40$米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：

(1)你与地面的距离随时间变化而变化，这个现象是周期现象吗？
(2)转四圈需要多长时间？
(3)你第四次距地面最高需要多少时间？
(4)转$60$分钟时，你距地面是多少？

答案： 7.
(1)是周期现象，周期为12分钟.
(2)转四圈需要时间为$4×12 = 48$（分钟）.
(3)第一次距地面最高需$\frac{12}{2}=6$（分钟），而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需$12×3 + 6 = 42$（分钟）.
(4)因为$60÷12 = 5$，所以转60分钟时你距地面与开始时刻距地面相同，即$40.5 - 40 = 0.5$（米）.

8. 毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.有一次毕达哥拉斯处罚学生，要他来回数在戴安娜神庙的七根柱子(这七根柱子分别标上$A,B,C,·s$，$G$如下表所示)，一直到指出第$1999$个数的柱子的标号是哪一个才能够停止.你能否帮助他尽快结束这个处罚？

答案： 8.发现数“2,3,4,…,1997,1998,1999”按“B,C,D,E,F,G,F,E,D,C,B,A”12个数字循环出现，而$1999 - 1 = 12×166 + 6$，也就是说循环出现166次后，再从B数6个，所以数到1999的那根柱子的标号是G.