《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

5. 已知两个单位向量$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$的夹角为$60°$,$\boldsymbol{c} = t\boldsymbol{a} + (1 - t)\boldsymbol{b}$,若$\boldsymbol{b} · \boldsymbol{c} = 0$,则$t =$2.

答案： 5.2
∵$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1$，$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=60^{\circ}$，
∴$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\frac{1}{2}$，$|\boldsymbol{b}|^{2}=1$，
∴$\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}=t\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+(1 - t)\boldsymbol{b}^{2}=\frac{1}{2}t+(1 - t)=1-\frac{1}{2}t=0$，
∴$t=2$。

6. 已知平面向量$\boldsymbol{a} = (1,-2)$,$\boldsymbol{b} = (4,y)$,若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$的夹角为锐角,则$y$的取值范围为$(-\infty,-8)\cup(-8,\frac{9}{2})$.

答案： 6.$(-\infty,-8)\cup(-8,\frac{9}{2})$ 因为$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$的夹角为锐角，所以$\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\gt0$，且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$不共线，$\boldsymbol{a}=(1,-2)$，$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(5,y - 2)$，即$1×5 - 2(y - 2)\gt0$，且$1×(y - 2)\neq-2×5$，解得$y\lt\frac{9}{2}$且$y\neq-8$，故答案为：$(-\infty,-8)\cup(-8,\frac{9}{2})$。

7. 已知$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$是同一平面内的三个向量,其中$\boldsymbol{a} = (1,2)$.
(1) 若$\vert \boldsymbol{c} \vert = 2\sqrt{5}$,且$\boldsymbol{c} // \boldsymbol{a}$,求$\boldsymbol{c}$的坐标；
(2) 若$\vert \boldsymbol{b} \vert = \frac{\sqrt{5}}{2}$,且$\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}$与$2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$垂直,求$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角$\theta$.

答案： 7.
(1)设$\boldsymbol{c}=(x,y)$，
∵$|\boldsymbol{c}|=2\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴$x^{2}+y^{2}=20$。由$\boldsymbol{c}//\boldsymbol{a}$和$|\boldsymbol{c}|=2\sqrt{5}$，可得$\begin{cases}1· y - 2· x=0\\x^{2}+y^{2}=20\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2\\y=-4\end{cases}$，故$\boldsymbol{c}=(2,4)$或$\boldsymbol{c}=(-2,-4)$。
(2)
∵$(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\perp(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$，
∴$(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})·(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=0$，即$2\boldsymbol{a}^{2}+3\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{b}^{2}=0$，
∴$2×5+3\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}-2×\frac{5}{4}=0$，整理得$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=-\frac{5}{2}$，
∴$\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=-1$。又$\theta\in[0,\pi]$，
∴$\theta=\pi$。

8. 在$\triangle ABC$中, 已知$A(3,1)$,$B(1,0)$,$C(2,3)$.
(1) 判断$\triangle ABC$的形状；
(2) 设$O$为坐标原点,$\overrightarrow{OD} = m\overrightarrow{OC}$ ($m \in \mathbf{R}$), 且$(\overrightarrow{AB} - m\overrightarrow{OC}) // \overrightarrow{BC}$, 求$\vert \overrightarrow{OD} \vert$.

答案： 8.
(1)由两点间的距离公式，得$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{5}$。
∵$\overrightarrow{AB}=(-2,-1)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,2)$，
∴$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=2 - 2=0$，即$AB\perp AC$。
∴$\triangle ABC$为等腰直角三角形。
(2)由题可知$\overrightarrow{OC}=(2,3)$，$\overrightarrow{BC}=(1,3)$，则$\overrightarrow{AB}-m\overrightarrow{OC}=(-2 - 2m,-1 - 3m)$。又$(\overrightarrow{AB}-m\overrightarrow{OC})//\overrightarrow{BC}$，则有$3(-2 - 2m)+(1 + 3m)=0$，解得$m=-\frac{5}{3}$，由两点间的距离公式，得$|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{13}$。
∴$|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{13}$。
∴$|\overrightarrow{OD}|=|m|·|\overrightarrow{OC}|=\frac{5\sqrt{13}}{3}$。