《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 下列函数中，图象的一部分如图所示的是 (D)


A.$y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$
B.$y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$
C.$y = \cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$
D.$y = \cos\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$

答案： 1.D “五点法”对应解方程.设$y=A\sin(\omega x+\varphi)$，显然$A=1$，又图象过点$\left(-\frac{\pi}{6},0\right),\left(\frac{\pi}{12},1\right)$，
所以$\begin{cases}\omega×\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\varphi=0\\\omega×\frac{\pi}{12}+\varphi=\frac{\pi}{2}\end{cases}$
解得$\omega=2,\varphi=\frac{\pi}{3}$.所以函数解析式为$y=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$.故选D.

2. 已知$\omega ＞ 0,0 ＜ \varphi ＜ \pi$，直线$x = \frac{\pi}{4}$和$x = \frac{5\pi}{4}$是函数$f(x) =$
$\sin(\omega x + \varphi)$图象的两条相邻的对称轴，则$\varphi =$ (A)

A.$\frac{\pi}{4}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{\pi}{2}$
D.$\frac{3\pi}{4}$

答案： 2.A因为直线$x=\frac{\pi}{4}$和$x=\frac{5\pi}{4}$是函数$f(x)$的图象中的两条相邻的对称轴，
所以$\frac{5\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=\frac{T}{2}$，即$\frac{T}{2}=\pi$，解得$T=2\pi$.
又$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi$，所以$\omega=1$.所以$f(x)=\sin(x+\varphi)$.
因为直线$x=\frac{\pi}{4}$是函数$f(x)$的对称轴，
所以$\frac{\pi}{4}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$，所以$\varphi=\frac{\pi}{4}+k\pi(k\in\mathbf{Z})$.
又$0＜\varphi＜\pi$，所以$\varphi=\frac{\pi}{4}$.
经检验知此时直线$x=\frac{5\pi}{4}$也为函数$f(x)$的对称轴，所以选A.

3. (2024·陕西榆林高一统考期末) 已知函数$f(x) =$
$2\sin 2x$，将函数$f(x)$的图象沿着$x$轴向左平移$\frac{\pi}{6}$个单
位长度，得到函数$y = g(x)$的图象，则函数$g(x)$的解
析式为 (D)

A.$g(x) = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right)$
B.$g(x) = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$
C.$g(x) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$
D.$g(x) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$

答案： 3.D因为函数f(x)的图象沿着x轴向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度，
所以，$g(x)=2\sin2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right).$故选D.

4. 为了得到函数$y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$的图象，可以将函数
$y = \cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$的图象 (B)

A.向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位
B.向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位
C.向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位
D.向右平移$\frac{\pi}{4}$个单位

答案： 4.B函数$y=\cos\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位得：$y=\sin\left[2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{\pi}{6}\right]=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$.故选B.

5. 函数$f(x) = A\sin(\omega x +$
$\varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0)$的部分
图象如图所示，则$f(1) +$
$f(2) + f(3) + ·s +$
$f(2024) =$ (A)

A.0
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2} + 2$
D.1

答案： 5.A由图象可知，$A=2$，周期$T=8$，故$\omega=\frac{\pi}{4}$，又三角函数图象过原点，所以$\varphi=0$，所以$f(x)=2\sin\frac{\pi}{4}x$，所以$f(1)+f(2)+f(3)+·s+f(8)=0$，即每一个周期内的三角函数值之和为0，因此，$f(1)+f(2)+f(3)+·s+f(2024)=253[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+···+f(8)]=0$，故选A.

6. 已知函数$f(x) = 2\sin(\omega x + \varphi)(\omega ＞ 0)$的图象关于直
线$x = \frac{\pi}{3}$对称，且$f\left(\frac{\pi}{12}\right) = 0$，则$\omega$的最小值为(A)

A.2
B.4
C.6
D.8

答案： 6.A函数$f(x)$的周期$T\leq4\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{12}\right)=\pi$，
则$\frac{2\pi}{\omega}\leq\pi$，解得$\omega\geq2$，故$\omega$的最小值为2.

7. 已知函数$f(x) = \sin(\omega x +$

$\varphi)(\omega ＞ 0)$的图象如图所
示，则$\omega =$$\frac{3}{2}$.

答案： 7.$\frac{3}{2}$由图象可得函数$f(x)$的最小正周期为$\frac{4\pi}{3}$，$\therefore T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{4\pi}{3}$，
$\omega=\frac{3}{2}$

8. 完成下列填空：
(1) 函数$y = 2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2}x\right)$
的最小正周期为4；
(2) 函数$y = \sin\left(\omega x + \frac{\pi}{4}\right)(\omega ＞ 0)$的最小正周期为
$\frac{2\pi}{3}$，则$\omega =$3；
(3) 函数$y = 4\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) + 3\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$的最小正
周期为$\frac{2\pi}{3}$

答案： 8.
(1)$4$
(2)$3$
(3)$\frac{2\pi}{3}$
(1)$T=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4,\therefore$应填4.
(2)$\because\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3},\therefore\omega=3,\therefore$应填3.
(3)$\because y=4\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)$与$y=3\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$的最小正周期都为$\frac{2\pi}{3}$，$\therefore$应填$\frac{2\pi}{3}$

9. 求函数$y = \frac{3}{2}\sin\left(2\pi x + \frac{4\pi}{3}\right)$取最大值时，对应的$x$值
的集合为$\left\{x\mid x=k-\frac{5}{12},k\in\mathbf{Z}\right\}$.

答案： 9.$\left\{x\mid x=k-\frac{5}{12},k\in\mathbf{Z}\right\}$函数取最大值时$2\pi x+\frac{4\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$.解得$x=k-\frac{5}{12},k\in\mathbf{Z}$.

10. 如何由$y = \sin x$得到函数$y = 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$
的图象.

答案： 向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度
10.方法一：$y=\sin x\xrightarrow{ 将各点的横坐标缩短为原来的\frac{1}{2} 倍}$
$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\xrightarrow{ 将各点的纵坐标伸长为原来的3倍}$
$y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\xrightarrow{}$
$y=3\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$；
方法二：$y=\sin x\xrightarrow{ 向右平移\frac{\pi}{6} 个单位长度}y=\sin2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$
$\xrightarrow{ 将各点的纵坐标伸长为原来的3倍}$
$y=3\sin2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=3\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$.

1. 使函数$y = 2\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right),x\in[0,\pi]$为增函数的区间
是 (C)

A.$\left[0,\frac{\pi}{3}\right]$
B.$\left[\frac{\pi}{12},\frac{7\pi}{12}\right]$
C.$\left[\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{6}\right]$
D.$\left[\frac{5\pi}{6},\pi\right]$

答案： 1.C由$y=2\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=-2\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$可知，其增区间可由$y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$的减区间得到，即$2k\pi+\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{3\pi}{2},k\in\mathbf{Z}.\therefore k\pi+\frac{\pi}{3}\leq x\leq k\pi+\frac{5\pi}{6},k\in\mathbf{Z$.令$k=0$，故选C.

2. 把函数$y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$的图象向右平移$\frac{\pi}{8}$个单位长
度，再把所得图象上各点横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，则
所得图象的解析式是 (C)

A.$y = \sin\left(4x + \frac{3\pi}{8}\right)$
B.$y = \sin\left(4x + \frac{\pi}{8}\right)$
C.$y = \sin 4x$
D.$y = \sin x$

答案： 2.C分清对横坐标还是纵坐标所作的变换，左、右平移是对$x$变化，并且是对单个的$x$进行变化，把$y=\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$的图象向右平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度，用$\left(x-\frac{\pi}{8}\right)$代换原解析式中的$x$，即得函数式$y=\sin\left[2\left(x-\frac{\pi}{8}\right)+\frac{\pi}{4}\right]$，即$y=\sin2x$，再把$y=\sin2x$的图象上的各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，就得到解析式$y=\sin2(2x)$，即$y=\sin4x$的图象.