《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1.已知向量$\overrightarrow{OA}=(3,-2)$,$\overrightarrow{OB}=(-5,-1)$,则向量$\overrightarrow{AB}$的坐标是
(C)

A.$(-4,\frac{1}{2})$
B.$(4,-\frac{1}{2})$
C.$(-8,1)$
D.$(8,1)$

答案： 1.C $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1)$.

2.下列各组向量中,可以作为基底的是 (B)

A.$\boldsymbol{e}_{1}=(0,0)$,$\boldsymbol{e}_{2}=(1,1)$
B.$\boldsymbol{e}_{1}=(1,2)$,$\boldsymbol{e}_{2}=(-2,1)$
C.$\boldsymbol{e}_{1}=(-3,4)$,$\boldsymbol{e}_{2}=(\frac{3}{5},-\frac{4}{5})$
D.$\boldsymbol{e}_{1}=(2,6)$,$\boldsymbol{e}_{2}=(-1,-3)$

答案： 2.B

3.设$\boldsymbol{a}=(x_{1},y_{1})$,$\boldsymbol{b}=(x_{2},y_{2})$,则“$\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{y_{2}}{x_{2}}$”是“$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$”的
(A)

A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充分必要条件
D.非充分非必要条件

答案： 3.A 若$\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}$,则$x_1y_2=x_2y_1$,即$x_1y_2 - x_2y_1 = 0$,故$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$,充分性成立,不妨设$\boldsymbol{a}=(0,1)$,$\boldsymbol{b}=(0,2)$,此时$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$,但不满足$\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}$,故必要性不成立,所以“$\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}$”是“$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$”的充分非必要条件.故选A.

4.已知向量$\boldsymbol{a}=(1,3)$,$\boldsymbol{b}=(2,1)$,若$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$与$3\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$平行,则$\lambda$的值等于 (B)

A.-6
B.6
C.2
D.-2

答案： 4.B $\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=(5,5)$,$3\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}=(3 + 2\lambda,9+\lambda)$,
由条件知,$5×(9+\lambda)-5×(3 + 2\lambda)=0$,
$\therefore \lambda = 6$.

5.已知四边形$ABCD$的三个顶点$A(0,2)$,$B(-1,-2)$,$C(3,1)$,且$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$,则顶点$D$的坐标为 (A)

A.$(4,5)$
B.$(5,-4)$
C.$(3,2)$
D.$(1,3)$

答案： 5.A 设$D$点坐标为$(x,y)$,
则$\overrightarrow{BC}=(4,3)$,$\overrightarrow{AD}=(x,y - 2)$,
由$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$,得$\begin{cases}4 = x,\\3 = y - 2,\end{cases}$
$\therefore \begin{cases}x = 4,\\y = 5,\end{cases}\therefore D(4,5)$.

6.已知向量$\overrightarrow{OA}=(1,-3)$,$\overrightarrow{OB}=(2,-1)$,$\overrightarrow{OC}=(k + 1,k - 2)$,若$A$,$B$,$C$三点不能构成三角形,则实数$k$应满足的条件是 (C)

A.$k = - 2$
B.$k=\frac{1}{2}$
C.$k = 1$
D.$k = - 1$

答案： 6.C 因为$A,B,C$三点不能构成三角形,则$A,B,C$三点共线,则
$\overrightarrow{AB} // \overrightarrow{AC}$,又$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(1,2)$,$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(k,k + 1)$,
所以$2k-(k + 1)=0$,即$k = 1$.

7.在平行四边形$ABCD$中,$AC$为一条对角线,若$\overrightarrow{AB}=(2,4)$,$\overrightarrow{AC}=(1,3)$,则$\overrightarrow{BD}=$$(-3,-5)$.

答案： 7.$(-3,-5)$ $\because \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5)$.

8.已知$O$是坐标原点,点$A$在第二象限,$\vert\overrightarrow{OA}\vert = 6$,$\angle xOA = 150^{\circ}$,则向量$\overrightarrow{OA}$的坐标为$(-3\sqrt{3},3)$.

答案： 8.$(-3\sqrt{3},3)$ 设点$A(x,y)$,则
$x = |\overrightarrow{OA}|\cos 150^{\circ}=6\cos 150^{\circ}=-3\sqrt{3}$,
$y = |\overrightarrow{OA}|\sin 150^{\circ}=6\sin 150^{\circ}=3$,
即$A(-3\sqrt{3},3)$,所以$\overrightarrow{OA}=(-3\sqrt{3},3)$.

9.已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$,$\boldsymbol{b}=(1,0)$,$\boldsymbol{c}=(3,4)$,若$\lambda$为实数,$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})//\boldsymbol{c}$,则$\lambda$的值为$\frac{1}{2}$.

答案： 9.$\frac{1}{2}$ $\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}=(1,2)+\lambda(1,0)=(1+\lambda,2)$
$\because (\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}) // \boldsymbol{c}$,
$\therefore 4(1+\lambda)-3×2 = 0$,$\therefore \lambda=\frac{1}{2}$.

10.已知点$A(2,3)$,$B(5,4)$,$C(5\lambda + 2,7\lambda + 3)$,若第三象限的点$P$满足$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$,求实数$\lambda$的取值范围.

答案： 10.设$P(x,y)$,则$\overrightarrow{AP}=(x - 2,y - 3)$,
又$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(3,1)+(5\lambda,7\lambda)$
$=(3 + 5\lambda,1 + 7\lambda)$,
于是由$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$,
可得$(x - 2,y - 3)=(3 + 5\lambda,1 + 7\lambda)$,
所以$\begin{cases}x - 2 = 3 + 5\lambda,\\y - 3 = 1 + 7\lambda,\end{cases}$即$\begin{cases}x = 5\lambda + 5,\\y = 7\lambda + 4.\end{cases}$
因为点$P$在第三象限,
所以$\begin{cases}5\lambda + 5＜0,\\7\lambda + 4＜0,\end{cases}$解得$\lambda＜-1$.
故所求实数$\lambda$的取值范围是$(-\infty,-1)$.

1.已知平面向量$\boldsymbol{a}=(x,1)$,$\boldsymbol{b}=(-x,x^{2})$,则向量$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
(C)

A.平行于$x$轴
B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于$y$轴
D.平行于第二、四象限的角平分线

答案： 1.C $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(0,1 + x^{2})$,与$y$轴平行.

2.在平行四边形$ABCD$中,$A(1,2)$,$B(3,5)$,$\overrightarrow{AD}=(-1,2)$,则$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=$
(A)

A.$(-2,4)$
B.$(4,6)$
C.$(-6,-2)$
D.$(-1,9)$

答案： 2.A 在平行四边形$ABCD$中,因为$A(1,2)$,$B(3,5)$,所以$\overrightarrow{AB}=(2,3)$.又$\overrightarrow{AD}=(-1,2)$,所以$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(1,5)$,$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=(-3,-1)$,所以$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(-2,4)$,故选A.

3.(多选)已知向量$\boldsymbol{a}=(1,0)$,$\boldsymbol{b}=(0,1)$,$\boldsymbol{c}=k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$($k\in\mathbf{R}$),$\boldsymbol{d}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$,如果$\boldsymbol{c}//\boldsymbol{d}$,那么 (AD)

A.$k = - 1$
B.$k = 1$
C.$\boldsymbol{c}$与$\boldsymbol{d}$同向
D.$\boldsymbol{c}$与$\boldsymbol{d}$反向

答案： 3.AD $\because \boldsymbol{c} // \boldsymbol{d}$,$\therefore \boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{d}$,即$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$,又$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$不共线,
$\therefore \begin{cases}k = \lambda,\\1 = -\lambda,\end{cases}\therefore k = -1$,$\therefore \boldsymbol{c}=-\boldsymbol{d}$,$\therefore \boldsymbol{c}$与$\boldsymbol{d}$反向.

4.(多选)在边长为$4$的正方形$ABCD$中,$P$在正方形(含边)内,满足$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$,则下列结论正确的是
(AD)

A.若点$P$在$BD$上时,则$x + y = 1$
B.$x + y$的取值范围为$[1,4]$
C.若点$P$在$BD$上时,$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AC}=2x\overrightarrow{AB}+2y\overrightarrow{AD}$
D.当$P$在线段$BD$上时,$\frac{x^{2}+y^{2}}{3}$的最小值为$\frac{1}{6}$

答案：
4.AD 如图建立平面直角坐标系,则
$A(0,0)$,$B(4,0)$,$C(4,4)$,$D(0,4)$,
设$P(m,n)(m,n \in [0,4])$,
因为$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$,所以$(m,n)=x(4,0)+y(0,4)$,所以$\begin{cases}m = 4x,\\n = 4y,\end{cases}$
对于A,由题意可得线段$BD$的方程
为$x'+y' = 4$,$x' \in [0,4]$,
因为点$P$在$BD$上,所以$m + n = 4$,因为$\begin{cases}m = 4x,\\n = 4y,\end{cases}$所以$4(x + y)=4$,
所以$x + y = 1$,所以A正确,
对于B,因为$\begin{cases}m = 4x,\\n = 4y,\end{cases}$所以$m + n = 4(x + y)$,所以$x + y=\frac{m + n}{4}$,
因为$m,n \in [0,4]$,所以$m + n \in [0,8]$,所以$x + y \in [0,2]$,所以B错误,
对于C,因为$\overrightarrow{AP}=(m,n)$,$\overrightarrow{AC}=(4,4)$,所以$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AC}=(m + 4,n + 4)$,
因为$2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}=2(4,0)+2(0,4)=(8x,8y)$,$\begin{cases}m = 4x,\\n = 4y,\end{cases}$
所以$2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}=(2m,2n)$,
若$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$,则$\begin{cases}m + 4 = 2m,\\n + 4 = 2n,\end{cases}$得$\begin{cases}m = 4,\\n = 4,\end{cases}$
因为$m + n = 4$,所以$\begin{cases}m = 4,\\n = 4\end{cases}$不满足,所以$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$不成立,所以C错误,
对于D,$\frac{x^{2}+y^{2}}{3}=\frac{(x + y)^{2}-2xy}{3}=\frac{1 - 2xy}{3}\geqslant\frac{1 - 2×(\frac{x + y}{2})^{2}}{3}=\frac{1}{6}$,当且仅当$x = y=\frac{1}{2}$时取等号,
所以当$P$在线段$BD$上时,$\frac{x^{2}+y^{2}}{3}$的最小值为$\frac{1}{6}$,所以D正确,故选AD.