《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1.如右图，一个质点在平衡位置$O$点附近摆动，如果不计阻力，可将此摆动看作周期运动，若质点从$O$点开始向左摆动时开始计时，且周期为$1 s$，则质点第$5$次经过$O$点所需要的时间为(C)


A.$1.5 s$
B.$2 s$
C.$2.5 s$
D.$3 s$

答案： 1.C 若质点从O点开始向左摆动，则在1个周期内2次经过O点，所以5次经过O点需要2.5个周期，又因为周期为1s，所以需要2.5s.

2. 若函数$f(x)$是以$\frac{\pi}{2}$为周期的周期函数，且$f(\frac{\pi}{3}) = 1$，则$f(\frac{17\pi}{6})$的值是(A)

A.$1$
B.$-1$
C.$\pm1$
D.无法确定

答案： 2.A $f(\frac{17\pi}{6})=f(2\pi+\frac{5}{6}\pi)=f(\frac{5}{6}\pi)=f(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})=f(\frac{\pi}{3})=1$.

3. 某广场从左向右依次挂着一排小彩灯，每两盏蓝灯之间按顺序有红灯、黄灯、绿灯各一盏.若左边第一盏灯是蓝灯，那么第$90$盏灯是(A)

A.红灯
B.蓝灯
C.黄灯
D.绿灯

答案： 3.A 按顺序每4盏灯又重复前面的顺序，是周期性的.又$90 = 4×22 + 2$，所以第90盏灯是红灯.

4. 如果今天是星期五，则$58$天后的那一天是星期(C)

A.五
B.六
C.日
D.一

答案： 4.C 因为每星期含有7天，而$58 = 7×8 + 2$，即58天后是再过8个星期后第2天，即星期日，故选C.

5. 若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为$29.5$天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图).则月球绕地球一周所用的时间$T$为(B)


A.$24.5$天
B.$29.5$天
C.$28.5$天
D.$24$天

答案： 5.B 由图知，地球从$E_1$到$E_2$用时29.5天，月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个周期.

6. 已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x)=f(x + 3)$，如图表示该函数在区间$[-2,1]$上的图象，则$f(2024) + f(2023)$等于(A)


A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.$0$

答案： 6.A $f(2024)+f(2023)=f(674×3 + 2)+f(674×3 + 1)=f(2)+f(1)=f(3 - 1)+f(1)=f(-1)+f(1)=2 + 1 = 3$.故选A.

7. 把扑克牌按照红桃$2$张，梅花$3$张，方块$1$张，黑桃$2$张的顺序连续排列着，则第$76$张牌的花色是梅花.

答案： 7.梅花 2张红桃，3张梅花，1张方块，2张黑桃按顺序排列，每隔8张又重复出现，又$76 = 8×9 + 4$，所以第76张是梅花.

8. 定义域为$\mathbf{R}$的偶函数$f(x)$为周期函数，其周期为$8$，当$x\in[-4,0]$时$f(x)=x + 1$，则$f(25)=$0.

答案： 8.0 因为定义域为R的偶函数$f(x)$为周期函数，其周期为8.当$x∈[-4,0]$时，$f(x)=x + 1$，所以$f(25)=f(8×3 + 1)=f(1)=f(-1)=-1 + 1 = 0$.

9. 已知定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f(x + 2)= -f(x)$，则$f(6)$的值为0.

答案： 9.0 $f(6)=-f(4)=f(2)=-f(0)=0$.

10. 已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$y = f(x)$满足$f(x + a)= -f(x)$（$a$是不为零的常数），证明：$2a$是函数$y = f(x)$的一个周期.

答案： 10.【证明】
∵定义在R上的函数$y = f(x)$满足$f(x + a)=-f(x)$（a是不为零的常数），
∴$f(x + 2a)=-f(x + a)=f(x)$，
∴2a是函数$y = f(x)$的一个周期.

1. 若钟摆的高度$h( mm)$与时间$t( s)$之间的函数关系如图所示.则该函数值重复出现一次所需的时间$T$及在$t = 25 s$时钟摆的高度为(D)


A.$2 s,10 mm$
B.$1 s,20 mm$
C.$1 s,10 mm$
D.$2 s,20 mm$

答案： 1.D 由图象可知，重复一次所需时间$T = 2s$，当$t = 25s$时，因为$25 = 2×12 + 1$，所以25s时的高度与1s时的高度相同，即20mm.