《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

4. 若角$\alpha$的终边在直线$y = -2x$上，则$\sin\alpha$等于.

答案： 4.$\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$在角$\alpha$的终边上任取一点$P(-1,2)$,则$r=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$,所以$\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.或者取$P'(1,-2)$,则$r=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$,所以$\sin \alpha =\frac{y}{r}=-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

5. 已知角$\theta$的顶点为坐标原点，始边为$x$轴的正半轴，若$P(4, y)$是角$\theta$终边上的一点，且$\sin\theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则$y =$.

答案： 5.$-8$根据题意$\sin \theta =-\frac{2\sqrt{5}}{5}＜0$及$P(4,y)$是角$\theta$终边上一点,可知$\theta$为第四象限角.再由三角函数的定义得,$\frac{y}{\sqrt{4^{2}+y^{2}}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$,又$\because y＜0$,$\therefore y=-8$(符合题意),$y=8$(舍去).综上知$y=-8$.

6. 已知角$\alpha$的终边在直线$y = \frac{1}{3}x$上，求$10\cos\alpha - \frac{3}{\sin\alpha}$的值.

答案： 6.设角$\alpha$的终边上任一点为$Q(3k,k)(k\neq0)$,则$x=3k,y=k,r=\sqrt{(3k)^{2}+k^{2}}=\sqrt{10|k|}$.当$k＞0$时,$r=\sqrt{10}k$,$\alpha$为第一象限角,$\sin \alpha =\frac{k}{\sqrt{10}k}=\frac{\sqrt{10}}{10}$,$\cos \alpha =\frac{3k}{\sqrt{10}k}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$,所以$10\cos \alpha -\frac{3}{\sin \alpha}=3\sqrt{10}-3\sqrt{10}=0$.当$k＜0$时,$r=-\sqrt{10}k$,$\alpha$为第三象限角,$\sin \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$,$\cos \alpha =-\frac{3\sqrt{10}}{10}$,所以$10\cos \alpha -\frac{3}{\sin \alpha}=-3\sqrt{10}+3\sqrt{10}=0$.综上,$10\cos \alpha -\frac{3}{\sin \alpha}=0$.

7. 已知$\frac{1}{|\sin\alpha|} = -\frac{1}{\sin\alpha}$，且$\lg(\cos\alpha)$有意义.
(1) 试判断角$\alpha$所在的象限；
(2) 若角$\alpha$的终边与单位圆相交于点$M(\frac{3}{5}, m)$，求$m$的值及$\sin\alpha$的值.

答案： 7.
(1)由$\frac{1}{|\sin\alpha|}=-\frac{1}{\sin\alpha}$可知$\sin\alpha＜0$,所以$\alpha$是第三或第四象限角或$y$轴的非正半轴上的角.由$\lg(\cos\alpha)$有意义可知$\cos\alpha＞0$,所以$\alpha$是第一或第四象限或$x$轴的非负半轴上的角.综上可知,角$\alpha$是第四象限角.
(2)因为点$M(\frac{3}{5},m)$在单位圆上,所以$(\frac{3}{5})^{2}+m^{2}=1$,解得$m=\pm\frac{4}{5}$.又$\alpha$是第四象限角,故$m＜0$,从而$m=-\frac{4}{5}$.根据正弦函数的定义,可知$\sin\alpha=-\frac{4}{5}$.