《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1.下列各角中，与$370°$角终边重合的是 (D)

A.$300°$
B.$30°$
C.$-300°$
D.$10°$

答案： 1.D 与$370°$角终边重合的角的集合是$\{\alpha|\alpha=370°+k·360°,k\in\mathbf{Z}\}$，当$k = -1$时，$\alpha = 10°$。故选D。

2.给出下列四个命题：
①$-75°$角是第四象限角；
②$260°$角是第三象限角；
③$475°$是第二象限角；
④$-315°$角是第一象限角.
其中真命题有 (D)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 2.D ①②显然为真命题；③为真命题，$\because475°$角与$115°$角的终边相同，$115°$角是第二象限角，$\therefore475°$角是第二象限角；④为真命题，$\because -315°$角与$45°$角的终边相同，$45°$角是第一象限角，$\therefore -315°$角是第一象限角。故真命题有4个。故选D。

3.若$\alpha = k · 180° + 45°,k \in \mathbf{Z}$,则$\alpha$终边所在的象限是 (A)

A.第一、三象限
B.第一、二象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限

答案： 3.A 由题意知$\alpha = k·180° + 45°$，$k\in\mathbf{Z}$。
当$k = 2n + 1$，$n\in\mathbf{Z}$时，$\alpha = 2n·180° + 180° + 45° = n·360° + 225°$，$n\in\mathbf{Z}$，其终边在第三象限；
当$k = 2n$，$n\in\mathbf{Z}$时，$\alpha = 2n·180° + 45° = n·360° + 45°$，$n\in\mathbf{Z}$，其终边在第一象限。
综上，$\alpha$终边所在的象限是第一或第三象限。

4.在四个角$-20°,-400°,-2000°,600°$中，第四象限的角的个数是 (C)

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

答案： 4.C $-20°$是第四象限的角；
$-400° = -360° - 40°$与$-40°$角的终边相同，是第四象限的角；
$-2000° = -6×360° + 160°$与$160°$角的终边相同，是第二象限的角；
$600° = 360° + 240°$与$240°$角的终边相同，是第三象限的角。

5.如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是 (C)


A.$\{\alpha \mid -45° ＜ \alpha ＜ 120°\}$
B.$\{\alpha \mid 120° ＜ \alpha ＜ 315°\}$
C.$\{\alpha \mid k · 360° - 45° ＜ \alpha ＜ k · 360° + 120°,k \in \mathbf{Z}\}$
D.$\{\alpha \mid k · 360° + 120° ＜ \alpha ＜ k · 360° + 315°,k \in \mathbf{Z}\}$

答案： 5.C 在$(-360°,360°)$范围内，阴影部分表示为$(-45°,120°)$，故选C。

6.已知$\alpha$为第三象限角，则$\frac{\alpha}{2}$所在的象限是 (D)

A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限

答案： 6.D 因为$\alpha$终边在第三象限，
所以$180° + k·360° ＜ \alpha ＜ 270° + k·360°(k\in\mathbf{Z})$，
所以$90° + k·180° ＜ \frac{\alpha}{2} ＜ 135° + k·180°(k\in\mathbf{Z})$，$k$为偶数时，$\frac{\alpha}{2}$在第二象限，$k$为奇数时，$\frac{\alpha}{2}$在第四象限。故选D。

7.在图中从$OA$旋转到$OB$，$OB_1$，$OB_2$时所成的角度分别是390°、-150°、60°.

答案： 7.$390° - 150°$ $60°$ 由图1所示的角$\alpha$是$OA$按逆时针方向绕$O$点旋转至$OB$而成的，故所成的角$\alpha = 360° + 30° = 390°$；
图2：由于角$\beta$是$OA$按顺时针绕$O$点旋转至$OB_1$而成的，则$\beta = -360° + 210° = -150°$；
由于角$\gamma$是$OA$按逆时针绕$O$点旋转至$OB_2$而成的，则$\gamma = 210° - 150° = 60°$。

8.已知点$P(0,-1)$在角$\alpha$的终边上，则所有角$\alpha$组成的集合$S =$$\{\alpha|\alpha = 270° + k·360°,k\in\mathbf{Z}\}$(或$\{\alpha|\alpha = -90° + k·360°,k\in\mathbf{Z}\}$).

答案： 8.$\{\alpha|\alpha = 270° + k·360°,k\in\mathbf{Z}\}$(或$\{\alpha|\alpha = -90° + k·360°,k\in\mathbf{Z}\}$) 点$P$在$y$轴的负半轴上，又$270°$的终边是$y$轴的负半轴，则$S = \{\alpha|\alpha = 270° + k·360°,k\in\mathbf{Z}\}$。

9.终边在直线$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$上的角的集合$S =$$\{\beta|\beta = 30° + n·180°,n\in\mathbf{Z}\}$.

答案：
9.$\{\beta|\beta = 30° + n·180°,n\in\mathbf{Z}\}$ 在$0°\sim360°$范围内，终边在直线$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$上的角有$30°$，$210°$（如图），所以终边在$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$上的角的集合是$S = \{\beta|\beta = 30° + k·360°,k\in\mathbf{Z}\}\cup\{\beta|\beta = 210° + k·360°,k\in\mathbf{Z}\} = \{\beta|\beta = 30° + 2k·180°,k\in\mathbf{Z}\}\cup\{\beta|\beta = 30° + (2k + 1)·180°,k\in\mathbf{Z}\} = \{\beta|\beta = 30° + n·180°,n\in\mathbf{Z}\}$。

10.在$[0°,360°)$内找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)$3290°$；
(2)$-545°30'$；
(3)$-210°$；
(4)$-1300°$.

答案： 10.
(1)因为$3290° = 9×360° + 50°$，所以$50°$角与$3290°$角终边相同，它是第一象限角；
(2)因为$-545°30' = -720° + 174°30'$，所以$174°30'$与$-545°30'$角终边相同，它是第二象限角；
(3)因为$-210° = -360° + 150°$，所以$150°$与$-210°$角终边相同，它是第二象限角；
(4)因为$-1300° = -1440° + 140°$，所以$140°$与$-1300°$角终边相同，它是第二象限角。

1.已知角$2\alpha$的终边在$x$轴上方，那么角$\alpha$的范围是 (C)

A.第一象限角的集合
B.第一或第二象限角的集合
C.第一或第三象限角的集合
D.第一或第四象限角的集合

答案： 1.C 由题意得：$360°· k ＜ 2\alpha ＜ 360°· k + 180°$，$k\in\mathbf{Z}$。
$\therefore k·180° ＜ \alpha ＜ k·180° + 90°$，$k\in\mathbf{Z}$，故选C。

2.集合$A = \{\alpha \mid \alpha = k · 90° - 36°,k \in \mathbf{Z}\}$，$B = \{\beta \mid -180° ＜ \beta ＜ 180°\}$，则$A \cap B$等于 (C)

A.$\{-36°,54°\}$
B.$\{-126°,144°\}$
C.$\{-126°,-36°,54°,144°\}$
D.$\{-126°,54°\}$

答案： 2.C 令$k$分别取$-1,0,1,2$，对应得到$\alpha$的值为$-126°,-36°,54°,144°$。故选C。