《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 已知点$P(\frac{\sqrt{5}}{5}, -\frac{2\sqrt{5}}{5})$是角$\alpha$的终边与单位圆的交点，则$\cos\alpha =$

A.$ -\frac{2\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$ -\frac{4}{5}$
D.$ -\frac{3}{5}$

答案： 1.B 因为点P$(\frac{\sqrt{5}}{5},-\frac{2\sqrt{5}}{5})$是角$\alpha$的终边与单位圆的交点，所以$\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$,故选B.

2. 已知角$\theta(0 ＜ \theta ＜ 2\pi)$的终边上一点$P$的坐标为$(\cos\frac{2\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{3})$，则角$\theta$的值为

A.$ -\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{2\pi}{3}$
C.$\frac{5\pi}{3}$
D.$\frac{11\pi}{6}$

答案： 2.B 由已知可得:角$\theta$的终边上一点$P$的坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$位于第二象限,它到原点的距离为$r=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{2}}=1$,$\frac{\pi}{2}＜\theta＜\pi$,则由任意角的三角函数的定义可知$\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$即$\theta =\frac{2\pi}{3}$,故选B.

3. 角$\alpha$的终边经过点$(3,4)$，则$\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} =$

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$7$
D.$\frac{1}{7}$

答案： 3.C 由角$\alpha$的终边经过点$(3,4)$,可得$\sin \alpha =\frac{4}{5}$,$\cos \alpha =\frac{3}{5}$,则$\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }=\frac{\frac{4}{5}+\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}-\frac{3}{5}}=7$.

4. 若$\sin\alpha ＜ 0, \cos\alpha ＜ 0$，则$\alpha$是

A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角

答案： 4.C 因为$\sin \alpha＜0$,所以$\alpha$在第三象限或第四象限,或$\alpha$终边为$y$轴非正半轴,因为$\cos \alpha＜0$,所以$\alpha$在第二象限或第三象限,或$\alpha$终边为$x$轴非正半轴,所以$\alpha$是第三象限角.故选C.

5. 已知点$Q(a,2)$是角$\alpha$终边上的一点，且$\sin\alpha = \frac{1}{2}$，则$a$的值为

A.$3$
B.$-2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$或$3$
D.$2\sqrt{3}$或$-2\sqrt{3}$

答案： 5.D 由正弦函数定义得$\frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}}=\frac{1}{2}$,解得$a=\pm2\sqrt{2}$.故选D.

6. 已知角$\alpha$的终边过点$P(-3m, m)(m \neq 0)$，则$\cos\alpha$的值可以是

A.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
C.$\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\pm \frac{3\sqrt{10}}{10}$

答案： 6.D 由余弦函数定义知,$\cos \alpha =\frac{-3m}{\sqrt{(-3m)^{2}+m^{2}}}=\frac{-3m}{\sqrt{10|m|}}=\pm\frac{3}{\sqrt{10}}$.故选D.

7. 若角$\alpha$的终边经过点$(1, -\sqrt{3})$，则$\sin\alpha =$.

答案： 7.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$由题意得$x=1,y=-\sqrt{3}$,则$r=2$,$\sin \alpha =\frac{y}{r}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

8. 若$45°$角的终边上有一点$(4 - a, a + 1)$，则$a =$.

答案： 8.$\frac{3}{2}$由题意知$4-a=a+1$,得$a=\frac{3}{2}$.

9. 已知角$\alpha$的终边在直线$y = \sqrt{2}x$上，则$\sin\alpha + \cos\alpha$的值为.

答案： 9.$\pm\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}$在角$\alpha$终边上任取一点$P(x,y)$,则$y=\sqrt{2}x$,当$x＞0$时,$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{3}x$,$\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{y}{r}+\frac{x}{r}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}$.当$x＜0$时,$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=-\sqrt{3}x$,$\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{y}{r}+\frac{x}{r}=\frac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{3}}\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}$.

10. 已知$\theta$终边上一点$P(x, 3)(x \neq 0)$，且$\cos\theta = \frac{\sqrt{10}}{10}x$，求$\sin\theta$.

答案： 10.方法一:由题意知$r=|OP|=\sqrt{x^{2}+9}$,由三角函数定义得$\cos \theta =\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}$又因为$\cos \theta =\frac{\sqrt{10}}{10}x$,所以$\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}=\frac{\sqrt{10}}{10}x$.因为$x\neq0$,所以$x=\pm1$.当$x=1$时,$P(1,3)$,此时$\sin \theta =\frac{3}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.当$x=-1$时,$P(-1,3)$,此时$\sin \theta =\frac{3}{\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.综上可知$\sin \theta =\frac{3\sqrt{10}}{10}$.
方法二:由三角函数定义$\cos \alpha =\frac{x}{r}=\frac{\sqrt{10}}{10}x$,$x\neq0$,$\therefore r=\sqrt{10}$,$\sin \theta =\frac{3}{r}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

1. 已知角$\alpha$的终边经过点$(2a + 1, a - 2)$，且$\cos\alpha = -\frac{3}{5}$，则实数$a$的值是

A.$-2$
B.$\frac{2}{11}$
C.$-2$或$\frac{2}{11}$
D.$2$

答案： 1.A 由余弦函数的定义知,$\frac{2a+1}{\sqrt{(2a+1)^{2}+(a-2)^{2}}}=-\frac{3}{5}$,化简整理得$11a^{2}+20a-4=0$,解得$a=-2$或$a=\frac{2}{11}$,又$2a+1＜0$,所以$a=-2$.

2. 已知角$\alpha$的终边经过点$(3a - 9, a + 2)$，且$\sin\alpha ＞ 0$，$\cos\alpha \leq 0$，则实数$a$的取值范围为

A.$-2 ＜ a ＜ 3$
B.$-2 ＜ a \leq 3$
C.$-2 \leq a ＜ 3$
D.$-3 \leq a ＜ 2$

答案： 2.B $\because \sin \alpha＞0,\cos \alpha\leq0$,$\therefore \alpha$位于第二象限或$y$轴正半轴上.$\therefore 3a-9\leq0$且$a+2＞0$.$\therefore -2＜a\leq3$.

3. (多选)在平面直角坐标系中，角$\alpha$以$x$正半轴为始边，终边与单位圆(原点为圆心)交于点$(-\frac{1}{2}, n)$，则符合条件的角$\alpha$可以是

A.$ -\frac{\pi}{3}$
B.$\frac{2\pi}{3}$
C.$\frac{4\pi}{3}$
D.$\frac{7\pi}{3}$

答案： 3.BC 当$\alpha=-\frac{\pi}{3}$时,$\cos(-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\neq-\frac{1}{2}$,故A错误;当$\alpha=\frac{2\pi}{3}$时,$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$,故B正确;当$\alpha=\frac{4\pi}{3}$时,$\cos\frac{4\pi}{3}=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}$,故C正确;当$\alpha=\frac{7\pi}{3}$时,$\cos\frac{7\pi}{3}=\cos(2\pi+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$,故D错误.故选BC.