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2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
1. 已知点$A(1,2)$,$B(2,3)$,$C(-2,5)$,则$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC}$等于 (
A.-1
B.0
C.1
D.2
B
)A.-1
B.0
C.1
D.2
答案：
1.B
∵$\overrightarrow{AB}=(2,3)-(1,2)=(1,1)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,5)-(1,2)=(-3,3)$，
∴$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=1×(-3)+1×3=0$。
∵$\overrightarrow{AB}=(2,3)-(1,2)=(1,1)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,5)-(1,2)=(-3,3)$，
∴$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=1×(-3)+1×3=0$。
2. 已知$\boldsymbol{a} = (-1,3)$,$\boldsymbol{b} = (2,-1)$且$(k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \bot (\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b})$则$k =$ (
A.$\frac{4}{3}$
B.$-\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$-\frac{3}{4}$
C
)A.$\frac{4}{3}$
B.$-\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$-\frac{3}{4}$
答案：
2.C 由题意知$(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})=0$，而$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2 - k,3k - 1)$，$\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=(-5,5)$，故$-5(2 - k)+5(3k - 1)=0$，解得$k=\frac{3}{4}$。
3. 已知向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的方向相反,$\boldsymbol{b} = (-2,3)$,$\vert \boldsymbol{a} \vert = 2\sqrt{13}$,则$\boldsymbol{a} =$ (
A.(-6,4)
B.(-4,6)
C.(4,-6)
D.(6,-4)
C
)A.(-6,4)
B.(-4,6)
C.(4,-6)
D.(6,-4)
答案：
3.C
∵$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的方向相反，
∴$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}(\lambda\lt0)$。设$\boldsymbol{a}=(x,y)$，则$(x,y)=\lambda(-2,3)$，于是$\begin{cases}x=-2\lambda\\y=3\lambda\end{cases}$。由$|\boldsymbol{a}|=2\sqrt{13}$，得$x^{2}+y^{2}=52$，即$4\lambda^{2}+9\lambda^{2}=13\lambda^{2}=52$，$\lambda^{2}=4$，
∴$\lambda=-2$，
∴$\boldsymbol{a}=(4,-6)$。故选C。
∵$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的方向相反，
∴$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}(\lambda\lt0)$。设$\boldsymbol{a}=(x,y)$，则$(x,y)=\lambda(-2,3)$，于是$\begin{cases}x=-2\lambda\\y=3\lambda\end{cases}$。由$|\boldsymbol{a}|=2\sqrt{13}$，得$x^{2}+y^{2}=52$，即$4\lambda^{2}+9\lambda^{2}=13\lambda^{2}=52$，$\lambda^{2}=4$，
∴$\lambda=-2$，
∴$\boldsymbol{a}=(4,-6)$。故选C。
4. 已知$\boldsymbol{a} = (1,n)$,$\boldsymbol{b} = (-1,n)$. 若$2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{b}$垂直,则$\vert \boldsymbol{a} \vert =$ (
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.4
C
)A.1
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.4
答案：
4.C 由$2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{b}$垂直，得$(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})·\boldsymbol{b}=0$，即$2(-1 + n^{2})-(1 + n^{2})=0$，解得$n^{2}=3$。所以，$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{1 + n^{2}}=\sqrt{1 + 3}=2$。
5. 已知向量$\boldsymbol{a} = (2,1)$,$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 10$,$\vert \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} \vert = 5\sqrt{2}$,则$\vert \boldsymbol{b} \vert$等于 (
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{10}$
C.5
D.25
C
)A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{10}$
C.5
D.25
答案：
5.C
∵$\boldsymbol{a}=(2,1)$，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=10$，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=5\sqrt{2}$，
∴$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=50=\boldsymbol{a}^{2}+2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$，可得$|\boldsymbol{b}|=5$。
∵$\boldsymbol{a}=(2,1)$，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=10$，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=5\sqrt{2}$，
∴$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=50=\boldsymbol{a}^{2}+2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$，可得$|\boldsymbol{b}|=5$。
6. 已知向量$\boldsymbol{a} = (1,2)$,$\boldsymbol{b} = (2,-3)$,若向量$\boldsymbol{c}$满足$(\boldsymbol{c} + \boldsymbol{a}) // \boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c} \bot (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})$,则$\boldsymbol{c} =$ (
A.$(\frac{7}{9},\frac{7}{3})$
B.$(-\frac{7}{3},-\frac{7}{9})$
C.$(\frac{7}{3},\frac{7}{9})$
D.$(-\frac{7}{9},-\frac{7}{3})$
D
)A.$(\frac{7}{9},\frac{7}{3})$
B.$(-\frac{7}{3},-\frac{7}{9})$
C.$(\frac{7}{3},\frac{7}{9})$
D.$(-\frac{7}{9},-\frac{7}{3})$
答案：
6.D 不妨设$\boldsymbol{c}=(m,n)$，则$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}=(1 + m,2 + n)$，$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(3,-1)$，对于$(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a})//\boldsymbol{b}$，则有$-3(1 + m)=2(2 + n)$。又$\boldsymbol{c}\perp(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$，则有$3m - n=0$，
∴$m=-\frac{7}{9}$，$n=-\frac{7}{3}$，故选D。
∴$m=-\frac{7}{9}$，$n=-\frac{7}{3}$，故选D。
7. 已知$\boldsymbol{a} = (1,\sqrt{3})$,$\boldsymbol{b} = (-2,0)$,则$\vert \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} \vert =$
2
.
答案：
7.2 因为$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(-1,\sqrt{3})$，所以$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2$。
8. 若$\boldsymbol{a} = (3,-1)$,$\boldsymbol{b} = (x,-2)$,且$\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \rangle = \frac{\pi}{4}$,则$x =$
1
.
答案：
8.1 $\cos\frac{\pi}{4}=\frac{3x + 2}{\sqrt{10}×\sqrt{x^{2}+4}}$，解得$x=1$或$x=-4$（舍）。
9. 已知向量$\boldsymbol{a} = (2,2)$,$\boldsymbol{b} = (-8,6)$,则$\cos \langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \rangle =$
$-\frac{\sqrt{2}}{10}$
.
答案：
9.$-\frac{\sqrt{2}}{10}$
∵$\boldsymbol{a}=(2,2)$，$\boldsymbol{b}=(-8,6)$，
∴$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=2×(-8)+2×6=-4$，$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$，$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{(-8)^{2}+6^{2}}=10$。
∴$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{-4}{2\sqrt{2}×10}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$。
∵$\boldsymbol{a}=(2,2)$，$\boldsymbol{b}=(-8,6)$，
∴$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=2×(-8)+2×6=-4$，$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$，$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{(-8)^{2}+6^{2}}=10$。
∴$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{-4}{2\sqrt{2}×10}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$。
10. (1) 已知三点$A(2,-2)$,$B(5,1)$,$C(1,4)$,求$\angle BAC$的余弦值；
(2)$\boldsymbol{a} = (3,0)$,$\boldsymbol{b} = (-5,5)$,求$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角.
(2)$\boldsymbol{a} = (3,0)$,$\boldsymbol{b} = (-5,5)$,求$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角.
答案：
10.
(1)
∵$\overrightarrow{AB}=(5,1)-(2,-2)=(3,3)$，$\overrightarrow{AC}=(1,4)-(2,-2)=(-1,6)$，
∴$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=3×(-1)+3×6=15$。又$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-1)^{2}+6^{2}}=\sqrt{37}$，
∴$\cos\angle BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{15}{3\sqrt{2}×\sqrt{37}}=\frac{5\sqrt{74}}{74}$。
(2)$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=3×(-5)+0×5=-15$，$|\boldsymbol{a}|=3$，$|\boldsymbol{b}|=5\sqrt{2}$。设$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{-15}{3×5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。又$0\leqslant\theta\leqslant\pi$，
∴$\theta=\frac{3\pi}{4}$。
(1)
∵$\overrightarrow{AB}=(5,1)-(2,-2)=(3,3)$，$\overrightarrow{AC}=(1,4)-(2,-2)=(-1,6)$，
∴$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=3×(-1)+3×6=15$。又$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-1)^{2}+6^{2}}=\sqrt{37}$，
∴$\cos\angle BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{15}{3\sqrt{2}×\sqrt{37}}=\frac{5\sqrt{74}}{74}$。
(2)$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=3×(-5)+0×5=-15$，$|\boldsymbol{a}|=3$，$|\boldsymbol{b}|=5\sqrt{2}$。设$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{-15}{3×5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。又$0\leqslant\theta\leqslant\pi$，
∴$\theta=\frac{3\pi}{4}$。
1. 设$x,y \in \mathbf{R}$,向量$\boldsymbol{a} = (x,1)$,$\boldsymbol{b} = (1,y)$,$\boldsymbol{c} = (2,-4)$且$\boldsymbol{a} \bot \boldsymbol{c}$,$\boldsymbol{b} // \boldsymbol{c}$,则$\vert \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} \vert =$ (
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{5}$
D.10
B
)A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{5}$
D.10
答案：
1.B 由$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c}$，得$2x - 4=0$，则$x=2$，由$\boldsymbol{b}//\boldsymbol{c}$得$-4 = 2y$，则$y=-2$，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{(2 + 1)^{2}+(1 - 2)^{2}}=\sqrt{10}$。
2. 已知向量$\boldsymbol{a} = (2\cos\theta,2\sin\theta)$,$\boldsymbol{b} = (0,-2)$,$\theta \in (\frac{\pi}{2},\pi)$,则向量$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$的夹角为 (
A.$\frac{3\pi}{2} - \theta$
B.$\theta - \frac{\pi}{2}$
C.$\frac{\pi}{2} + \theta$
D.$\theta$
A
)A.$\frac{3\pi}{2} - \theta$
B.$\theta - \frac{\pi}{2}$
C.$\frac{\pi}{2} + \theta$
D.$\theta$
答案：
2.A 由三角函数定义知$\boldsymbol{a}$的起点在原点时，终点落在圆$x^{2}+y^{2}=4$位于第二象限的部分上。
∵$\frac{\pi}{2}\lt\theta\lt\pi$，设其终点为$P$，则$\angle xOP=\theta$，
∴$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{3\pi}{2}-\theta$。
2.A 由三角函数定义知$\boldsymbol{a}$的起点在原点时，终点落在圆$x^{2}+y^{2}=4$位于第二象限的部分上。
∵$\frac{\pi}{2}\lt\theta\lt\pi$，设其终点为$P$，则$\angle xOP=\theta$，
∴$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{3\pi}{2}-\theta$。
3. (多选) 角$\alpha$顶点在坐标原点$O$,始边与$x$轴的非负半轴重合,点$P$在$\alpha$的终边上,点$Q(-3,-4)$,且$\tan\alpha = -2$,则$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$夹角的余弦值为 (
A.$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{11\sqrt{5}}{25}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$-\frac{11\sqrt{5}}{25}$
AC
)A.$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{11\sqrt{5}}{25}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$-\frac{11\sqrt{5}}{25}$
答案：
3.AC
∵$\tan\alpha=-2$，
∴可设$P(x,-2x)$，$\cos\langle\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}\rangle=\frac{\overrightarrow{OP}·\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}|·|\overrightarrow{OQ}|}=\frac{5x}{5\sqrt{5}|x|}$，当$x\gt0$时，$\cos\langle\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}\rangle=\frac{\sqrt{5}}{5}$，当$x\lt0$时，$\cos\langle\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}\rangle=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。
∵$\tan\alpha=-2$，
∴可设$P(x,-2x)$，$\cos\langle\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}\rangle=\frac{\overrightarrow{OP}·\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}|·|\overrightarrow{OQ}|}=\frac{5x}{5\sqrt{5}|x|}$，当$x\gt0$时，$\cos\langle\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}\rangle=\frac{\sqrt{5}}{5}$，当$x\lt0$时，$\cos\langle\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}\rangle=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。
4. (多选) 如图所示, 设$Ox$,$Oy$是平面内相交成$\theta$ ($\theta \neq \frac{\pi}{2}$)角的两条数轴,$\boldsymbol{e_1}$,$\boldsymbol{e_2}$分别是与$x$,$y$轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系$xOy$为$\theta$斜坐标系, 若$\overrightarrow{OM} = x\boldsymbol{e_1} + y\boldsymbol{e_2}$,则把有序数对$(x,y)$叫做向量$\overrightarrow{OM}$的斜坐标, 记为$\overrightarrow{OM} = (x,y)$. 在$\theta = \frac{\pi}{4}$的斜坐标系中,$\boldsymbol{a} = O( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$,$\boldsymbol{b} = (\sqrt{3},-1)$,则下列结论中, 错误的是 (
A.$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (\frac{1}{2} - \sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$
B.$\boldsymbol{a} \bot \boldsymbol{b}$
C.$\vert \boldsymbol{a} \vert = 1$
D.$\boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$上的投影向量为$(\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5},\frac{2\sqrt{6} - 3}{5})$
BC
)A.$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (\frac{1}{2} - \sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$
B.$\boldsymbol{a} \bot \boldsymbol{b}$
C.$\vert \boldsymbol{a} \vert = 1$
D.$\boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$上的投影向量为$(\frac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5},\frac{2\sqrt{6} - 3}{5})$
答案：
4.BC 由题意得$\boldsymbol{a}=\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}_{2}$，$\boldsymbol{b}=\sqrt{3}\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}$。$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}_{2}-(\sqrt{3}\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2})=(\frac{1}{2}-\sqrt{3})\boldsymbol{e}_{1}+(\frac{\sqrt{3}}{2}+1)\boldsymbol{e}_{2}$，由题意得：$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(\frac{1}{2}-\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{2}+1)$，故A正确；
∵$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=(\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}_{2})·(\sqrt{3}\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}_{1}^{2}+(\frac{3}{2}-\frac{1}{2})\boldsymbol{e}_{1}·\boldsymbol{e}_{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}_{2}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}\neq0$，故B项不正确；
∵$\boldsymbol{a}=\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}_{2}$，
∴$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}}=\sqrt{(\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}_{2})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}\boldsymbol{e}_{1}^{2}+\frac{3}{4}\boldsymbol{e}_{2}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}_{1}·\boldsymbol{e}_{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{4}}=\sqrt{1+\frac{\sqrt{2}}{4}}\neq1$，故C不正确；$\boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$上的投影向量为：$\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|}·\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|^{2}}·\boldsymbol{a}$，由C知$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{1+\frac{\sqrt{6}}{4}}$，
∴$|\boldsymbol{a}|^{2}=1+\frac{\sqrt{6}}{4}$，又
∵$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|^{2}}·\boldsymbol{a}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{6}}{4}}·\boldsymbol{a}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{5}(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{2\sqrt{6}-3}{5}$，故D正确。故选BC。
∵$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=(\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}_{2})·(\sqrt{3}\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}_{1}^{2}+(\frac{3}{2}-\frac{1}{2})\boldsymbol{e}_{1}·\boldsymbol{e}_{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}_{2}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}\neq0$，故B项不正确；
∵$\boldsymbol{a}=\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}_{2}$，
∴$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}}=\sqrt{(\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}_{2})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}\boldsymbol{e}_{1}^{2}+\frac{3}{4}\boldsymbol{e}_{2}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}_{1}·\boldsymbol{e}_{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{4}}=\sqrt{1+\frac{\sqrt{2}}{4}}\neq1$，故C不正确；$\boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$上的投影向量为：$\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|}·\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|^{2}}·\boldsymbol{a}$，由C知$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{1+\frac{\sqrt{6}}{4}}$，
∴$|\boldsymbol{a}|^{2}=1+\frac{\sqrt{6}}{4}$，又
∵$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|^{2}}·\boldsymbol{a}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{6}}{4}}·\boldsymbol{a}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{5}(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{2\sqrt{6}-3}{5}$，故D正确。故选BC。
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