《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{BC}=b$,则$a + b$等于 (A)

A.$\overrightarrow{AC}$
B.$\overrightarrow{BC}$
C.$\overrightarrow{AB}$
D.$\overrightarrow{CA}$

答案： 1．A 在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{BC}=b$，则$a+b=\overrightarrow{AC}$，故选A.

2. 如图,四边形$ABCD$是梯形,$AD// BC$,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,则$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DO}$等于
(B)

A.$\overrightarrow{CD}$
B.$\overrightarrow{DC}$
C.$\overrightarrow{DA}$
D.$\overrightarrow{DO}$

答案： 2．B $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}$.

3. 下列说法正确的个数为 (B)
①如果非零向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的方向相同或相反,那么$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$的方向必与$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的方向相同;
②在$\triangle ABC$中,必有$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{0}$;
③若$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{0}$,则$A,B,C$一定为一个三角形的三个顶点.

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 3．B ①错，若$a+b=0$，则$a+b$的方向是任意的；②正确；③错，当$A,B,C$三点共线时，也满足$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=0$.

4. 如图,正六边$ABCDEF$中,$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FE}=$ (B)

A.$\boldsymbol{0}$
B.$\overrightarrow{BE}$
C.$\overrightarrow{AD}$
D.$\overrightarrow{CF}$

答案： 4．B 连接$CF$，取$CF$中点$O$，连接$OE,OA$.
则$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FE}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF})+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{BE}$.

5. 在$\triangle ABC$中,$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|$,则$\triangle ABC$是 (B)

A.直角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形

答案： 5．B $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$，则$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AC}|$，
则$\triangle ABC$是等边三角形.

6. 化简下列各式:
(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} =$0 ;
(2)$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO} =$$\overrightarrow{BA}$.

答案： 6．
(1)0
(2)$\overrightarrow{BA}$
(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=0$.
(2)$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}=(\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}$.

7. 已知在菱形$ABCD$中,$\angle DAB = 60^{\circ},|\overrightarrow{AB}| = 1$,则$|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}| =$1.

答案： 7．1 在$\triangle ABD$中，$AD=AB=1$，$\angle DAB=60°$，则$BD=1$，所以$|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{BD}|=1$.

8. 如图所示,若$P$为$\triangle ABC$的外心,且$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PC}$,则$\angle ACB =$120°.

答案： 8．120° 因为$P$为$\triangle ABC$的外心，所以$PA=PB=PC$，因为$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}$，由向量的线性运算可得四边形$PACB$是菱形，且$\angle PAC=60°$，所以$\angle ACB=120°$.

9. 如图,$E,F,G,H$分别是梯形$ABCD$的边$AB,BC,CD,DA$的中点,化简下列各式：
(1)$\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CB}$;
(2)$\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EB}$.

答案： 9．
(1)原式$=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{GE}$.
(2)原式$=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=0$.

10. 如图,无弹性的细绳$OA,OB$的一端
分别固定在$A,B$处,同样的细绳$OC$下端系着一个称盘,且使得$OB\perp OC$,试分析$OA,OB,OC$三根绳子受力的大小,并判断哪根绳受力最大.

答案：
10．设$OA,OB,OC$三根绳子所受的力分别为$a,b,c$，则$a+b+c=0$.
因为$a,b$的合力为$c^{\prime}=a+b$，所以$|c|=|c^{\prime}|$.
如图在平行四边形$OB^{\prime}C^{\prime}A^{\prime}$中，
因为$\overrightarrow{OB^{\prime}}\perp\overrightarrow{OC^{\prime}},B^{\prime}C^{\prime}=\overrightarrow{OA^{\prime}}$，
所以$|OA^{\prime}|＞|OB^{\prime}|,|OA^{\prime}|＞|OC^{\prime}|$，
即$|a|＞|b|,|a|＞|c|$.故细绳$OA$受力最大.