《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

5. 函数$f(x) = \begin{cases}\sin x, & x \geqslant 0 \\x + 2, & x ＜ 0\end{cases}$则不等式$f(x) ＞ \frac{1}{2}$的解集是 ______ .

答案：
5.$\left\{ x \mid - \frac{3}{2} ＜ x ＜ 0, 或 \frac{\pi}{6} + 2k\pi ＜ x ＜ \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,k \in \mathbf{N} \right\}$在同一平面直角坐标系中画出函数$f(x)$和函数$y = \frac{1}{2}$的图象，如图所示，

当$f(x) ＞ \frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的图象位于函数$y = \frac{1}{2}$的图象上方，此时有$- \frac{3}{2} ＜ x ＜ 0$或$\frac{\pi}{6} + 2k\pi ＜ x ＜ \frac{5\pi}{6} + 2k\pi(k \in \mathbf{N})$.

6. 函数$y = \frac{\sin x + 3}{\sin x + 2}$的值域为[4/3, 2].

答案： 6.$\left[ \frac{4}{3},2 \right]$ $y = \frac{\sin x + 3}{\sin x + 2} = 1 + \frac{1}{\sin x + 2}$，因为$-1 \leq \sin x \leq 1$，所以$1 \leq \sin x + 2 \leq 3$，所以$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{\sin x + 2} \leq 1$，所以$\frac{4}{3} \leq 1 + \frac{1}{\sin x + 2} \leq 2$，所以$y = \frac{\sin x + 3}{\sin x + 2}$的值域是$\left[ \frac{4}{3},2 \right]$

7. 定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$既是偶函数又是周期函数，若$f(x)$的最小正周期是$\pi$，且当$x \in \left\lbrack 0,\frac{\pi}{2} \right\rbrack$时，$f(x) = \sin x$.
(1)求当$x \in \lbrack - \pi,0\rbrack$时，$f(x)$的解析式；
(2)画出函数$f(x)$在$\lbrack - \pi,\pi\rbrack$上的简图；
(3)求当$f(x) \geqslant \frac{1}{2}$时$x$的取值范围.

答案：
7.
(1)$\because f(x)$是偶函数，$\therefore f( - x) = f(x)$.
当$x \in \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]$时，$f(x) = \sin x$，
$\therefore$当$x \in \left[ - \frac{\pi}{2},0 \right]$时，$f(x) = f( - x) = \sin( - x) = - \sin x$.
又$\because$当$x \in \left[ - \pi, - \frac{\pi}{2} \right]$时，$x + \pi \in \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]$，$f(x)$的周期为$\pi$，
$\therefore f(x) = f(\pi + x) = \sin(\pi + x) = - \sin x$.
$\therefore$当$x \in [ - \pi,0]$时，$f(x) = - \sin x$.
(2)如下图.

(3)$\because$在$[0,\pi]$内，当$f(x) = \frac{1}{2}$时，$x = \frac{\pi}{6}$或$\frac{5\pi}{6}$
$\therefore$在$[0,\pi]$内，$f(x) \geq \frac{1}{2}$时，$x \in \left[ \frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6} \right]$
又$\because f(x)$的周期为$\pi$，
$\therefore$当$f(x) \geq \frac{1}{2}$时，$x \in \left[ k\pi + \frac{\pi}{6},k\pi + \frac{5\pi}{6} \right],k \in \mathbf{Z}$.

8. 若方程$\sin x = \frac{1 - a}{2}$在$x \in \left\lbrack \frac{\pi}{3},\pi \right\rbrack$上有两个实数根，求$a$的取值范围.

答案：
8.首先作出$y = \sin x,x \in \left[ \frac{\pi}{3},\pi \right]$的图象，然后再作出$y = \frac{1 - a}{2}$的图象，如果$y = \sin x,x \in \left[ \frac{\pi}{3},\pi \right]$与$y = \frac{1 - a}{2}$的图象有两个交点，方程$\sin x = \frac{1 - a}{2},x \in \left[ \frac{\pi}{3},\pi \right]$就有两个实数根.设$y_1 = \sin x,x \in \left[ \frac{\pi}{3},\pi \right],y_2 = \frac{1 - a}{2}$.$y_1 = \sin x,x \in \left[ \frac{\pi}{3},\pi \right]$的图象如图.

由图象可知，当$\frac{\sqrt{3}}{2} \leq \frac{1 - a}{2} ＜ 1$，即$-1 ＜ a \leq 1 - \sqrt{3}$时，$y_1 = \sin x$，$x \in \left[ \frac{\pi}{3},\pi \right]$的图象与$y_2 = \frac{1 - a}{2}$的图象有两个交点，即方程$\sin x = \frac{1 - a}{2}$在$x \in \left[ \frac{\pi}{3},\pi \right]$上有两个实根.所以$a$的取值范围为$-1 ＜ a \leq 1 - \sqrt{3}$.