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2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
3. 设$0 ＜ |\alpha| ＜ \frac{\pi}{4}$,则下列不等式中一定成立的是 (
A.$\sin 2\alpha ＞ \sin\alpha$
B.$\cos 2\alpha ＜ \cos\alpha$
C.$\sin 2\alpha ＜ \sin\alpha$
D.$\cos 2\alpha ＞ \cos\alpha$
B
)A.$\sin 2\alpha ＞ \sin\alpha$
B.$\cos 2\alpha ＜ \cos\alpha$
C.$\sin 2\alpha ＜ \sin\alpha$
D.$\cos 2\alpha ＞ \cos\alpha$
答案：
3.B 可利用举例进行排除，可知A、C、D均不正确.
4. 当角$\alpha$为第二象限时,$\frac{|\sin\alpha|}{\sin\alpha} - \frac{\cos\alpha}{|\cos\alpha|}$的值是 (
A.$1$
B.$0$
C.$2$
D.$- 2$
C
)A.$1$
B.$0$
C.$2$
D.$- 2$
答案：
4.C 因为角$\alpha$为第二象限角，所以$\sin\alpha ＞ 0,\cos\alpha ＜ 0$，所以$\frac{|\sin\alpha|}{\sin\alpha} - \frac{\cos\alpha}{|\cos\alpha|} = \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos\alpha}{- \cos\alpha} = 2$.
5. 函数$f(x) = \sin x$在区间$[a,b]$上是增函数,且$f(a) = - 1,f(b) = 1$,则$\cos\frac{a + b}{2} =$
1
.
答案：
5.1 由条件知，$a = - \frac{\pi}{2} + 2k\pi,b = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$，所以$\cos\frac{a + b}{2} = \cos 2k\pi = 1$.
6. 函数$y = \cos^{2}x - 4\cos x + 5$的值域为
$[2,10]$
.
答案：
6.$[2,10]$ 令$t = \cos x$，由于$x \in \mathbf{R}$，故$- 1 \leq t \leq 1$.$y = t^{2} - 4t + 5 = (t - 2)^{2} + 1$，当$t = - 1$时，即$\cos x = - 1$时函数有最大值$10$；当$t = 1$，即$\cos x = 1$时函数有最小值$2$.所以该函数的值域是$[2,10]$.
7. 已知函数$y = - 3\sin x + 1$,求函数在区间$\left\lbrack - \frac{\pi}{6},\frac{2}{3}\pi \right\rbrack$上的最值.
答案：
7.因为正弦函数$y = \sin x$在$\left[ - \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2} \right]$上单调递增，在$\left[ \frac{\pi}{2},\frac{2}{3}\pi \right]$上单调递减，所以$(\sin x)_{\max} = 1,(\sin x)_{\min} = - \frac{1}{2}$，所以$y_{\max} = \frac{5}{2},y_{\min} = - 2$.
8. 设函数$f(x) = \frac{1}{\sin x}$.
(1)请指出函数$y = f(x)$的定义域、周期性和奇偶性；（不必证明）
(2)请以正弦函数$y = \sin x$的性质为依据,并运用函数的单调性定义证明：$y = f(x)$在区间$\left( 0,\frac{\pi}{2} \right)$上单调递减.
(1)请指出函数$y = f(x)$的定义域、周期性和奇偶性；（不必证明）
(2)请以正弦函数$y = \sin x$的性质为依据,并运用函数的单调性定义证明：$y = f(x)$在区间$\left( 0,\frac{\pi}{2} \right)$上单调递减.
答案：
8.
(1)因为函数$f(x) = \frac{1}{\sin x}$，所以$\sin x \neq 0$，所以$x \neq k\pi,k \in \mathbf{Z}$，故函数的定义域为$\{ x \mid x \neq k\pi,k \in \mathbf{Z}\}$.显然，$f(x)$的周期，即$y = \sin x$的周期，为$2\pi$.由于满足$f( - x) = \frac{1}{\sin( - x)} = - \frac{1}{\sin x} = - f(x)$，故$f(x)$为奇函数.
(2)因为正弦函数$y = \sin x$在区间$\left( 0,\frac{\pi}{2} \right)$上单调递增，且$f(x)$的值域为$(0,1)$，设$0 ＜ x_{1} ＜ x_{2} ＜ \frac{\pi}{2}$，则$0 ＜ \sin x_{1} ＜ \sin x_{2} ＜ 1$.所以$f(x_{1}) = \frac{1}{\sin x_{1}} ＞ \frac{1}{\sin x_{2}} = f(x_{2})$，即$f(x_{1}) ＞ f(x_{2})$，故$y = f(x)$在区间$\left( 0,\frac{\pi}{2} \right)$上单调递减.
(1)因为函数$f(x) = \frac{1}{\sin x}$，所以$\sin x \neq 0$，所以$x \neq k\pi,k \in \mathbf{Z}$，故函数的定义域为$\{ x \mid x \neq k\pi,k \in \mathbf{Z}\}$.显然，$f(x)$的周期，即$y = \sin x$的周期，为$2\pi$.由于满足$f( - x) = \frac{1}{\sin( - x)} = - \frac{1}{\sin x} = - f(x)$，故$f(x)$为奇函数.
(2)因为正弦函数$y = \sin x$在区间$\left( 0,\frac{\pi}{2} \right)$上单调递增，且$f(x)$的值域为$(0,1)$，设$0 ＜ x_{1} ＜ x_{2} ＜ \frac{\pi}{2}$，则$0 ＜ \sin x_{1} ＜ \sin x_{2} ＜ 1$.所以$f(x_{1}) = \frac{1}{\sin x_{1}} ＞ \frac{1}{\sin x_{2}} = f(x_{2})$，即$f(x_{1}) ＞ f(x_{2})$，故$y = f(x)$在区间$\left( 0,\frac{\pi}{2} \right)$上单调递减.
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