《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1.下列说法中，错误的是(D)

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.$1^{\circ}$的角是周角的$\frac {1}{360}$，$1 rad$的角是周角的$\frac {1}{2\pi}$
C.$1 rad$的角比$1^{\circ}$的角要大
D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关

答案： 1.D 由角度制和弧度制的定义，知A，B，C说法正确；用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D说法错误.

2. 在半径为 10 的圆中，$\frac{4\pi}{3}$的圆心角所对弧长为 (A)

A.$\frac{40\pi}{3}$
B.$\frac{20\pi}{3}$
C.$\frac{200\pi}{3}$
D.$\frac{400\pi}{3}$

答案： 2.A 由于$r = 10$，$\alpha=\frac{4\pi}{3}$，所以弧长$l = r·\alpha=\frac{40\pi}{3}$

3.若$\alpha =5 rad$，则角$\alpha$的终边所在的象限为 (D)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 3.D $\because\frac{3\pi}{2}＜5＜2\pi$，$\therefore\alpha = 5 rad$为第四象限角，其终边位于第四象限.

4.将$-1485^{\circ}$化成$\alpha +2k\pi(0\leqslant \alpha ＜ 2\pi,k\in \mathbf{Z})$的形式是 (D)

A.$-\frac{\pi}{4}-8\pi$
B.$\frac{7}{4}\pi -8\pi$
C.$\frac{\pi}{4}-10\pi$
D.$\frac{7}{4}\pi -10\pi$

答案： 4.D $\because -1485^{\circ}=-5×360^{\circ}+315^{\circ}$，又$2\pi rad=360^{\circ}$，$315^{\circ}=\frac{7}{4}\pi rad$.故$-1485^{\circ}$化成$\alpha + 2k\pi(0\leqslant\alpha＜2\pi,k\in\mathbf{Z})$的形式是$\frac{7}{4}\pi - 10\pi$.

5.若角$\alpha$的终边落在如图所示的阴影部分内，则角$\alpha$的取值范围是 (D)


A.$(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3})$
B.$(\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6})$
C.$[\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6}]$
D.$[2k\pi +\frac{2\pi}{3},2k\pi +\frac{7\pi}{6}](k\in \mathbf{Z})$

答案： 5.D 阴影部分的两条边界分别是$\frac{2\pi}{3}$和$\frac{7\pi}{6}$角的终边，所以$\alpha$的取值范围是$\left[2k\pi+\frac{2\pi}{3},2k\pi+\frac{7\pi}{6}\right](k\in\mathbf{Z})$.

6.若弧度数为 2 的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所夹扇形的面积是 (C)

A.$\tan1$
B.$\frac{1}{\sin1}$
C.$\frac{1}{\sin^{2}1}$
D.$\frac{1}{\cos1}$

答案：
6.C 如右图所示，设$\angle AOB = 2$，$AB = 2$.
过点$O$作$OC\perp AB$于$C$，延长$OC$交$AB$
于$D$，则$\angle AOD=\frac{1}{2}\angle AOB = 1$，$AC=\frac{1}{2}AB = 1$.
在$ Rt\triangle AOC$中，$OA=\frac{AC}{\sin\angle AOC}=\frac{1}{\sin1}$
$\therefore$扇形的面积$S=\frac{1}{2}×2×\frac{1}{\sin^{2}1}=\frac{1}{\sin^{2}1}$

7.将$-1360^{\circ}$表示成$2k\pi +\alpha(0\leqslant \alpha ＜ 2\pi,k\in \mathbf{Z})$的形式为$-8\pi+\frac{4\pi}{9}$.

答案： 7.$-8\pi+\frac{4\pi}{9}$ $\because -1360^{\circ}=-4×360^{\circ}+80^{\circ}$，而$80^{\circ}=\frac{4\pi}{9}$，$\therefore$应填$-8\pi+\frac{4\pi}{9}$

8.如图，点$A,B,C$是圆$O$上的点，且$AB = 4$，$\angle ACB = \frac{\pi}{6}$，则劣弧$AB$的长为$\frac{4\pi}{3}$.

答案： 8.$\frac{4\pi}{3}$ 连接$AO$，$OB$，因为$\angle ACB=\frac{\pi}{6}$，所以$\angle AOB=\frac{\pi}{3}$，又$OA = OB$，所以$\triangle AOB$为等边三角形，故圆$O$的半径$r = AB = 4$，劣弧$\widehat{AB}$的长为$\frac{\pi}{3}×4=\frac{4\pi}{3}$

9. 中国折扇有着深厚的文化底蕴,这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧,显出清新雅致的特点. 已知某扇形的扇环如图所示,其中外弧线的长为 50 cm,内弧线的长为 15 cm,连接外弧与内弧的两端的线段的长均为 14 cm,则该扇环的面积为455$ cm^{2}$.

答案：
9.455
如图，作出包含扇环$ABDC$的两个扇形$OAB$和$OCD$，依题意，$\widehat{CD}$的长为$50 cm$，$\widehat{AB}$的长为$15 cm$，$AC = BD = 14 cm$，不妨设扇形$OAB$的半径为$r$，则扇形$OCD$的半径为$r + 14$，设圆心角$\angle AOB=\alpha$，则
$\begin{cases}\alpha r = 15\\\alpha(r + 14)=50\end{cases}$
解得$\begin{cases}\alpha=\frac{5}{2}\\r = 6\end{cases}$ 于是扇环$ABDC$的面积为
$S_{ 扇形OCD}-S_{ 扇形OAB}=\frac{1}{2}\alpha[(r + 14)^{2}-r^{2}]=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×(400 - 36)=455 cm^2$.故答案为455.

10. 设$\alpha =510^{\circ},\beta =\frac{4}{5}\pi$.
(1)将$\alpha$用弧度表示出来，并指出它的终边所在的象限；
(2)将$\beta$用角度表示出来，并在$-360^{\circ}\sim 360^{\circ}$内找出与它们终边相同的所有的角.

答案： 10.
(1)因为$1^{\circ}=\frac{\pi}{180} rad$，所以$\alpha = 510^{\circ}=510×\frac{\pi}{180}=\frac{17}{6}\pi=2\pi+\frac{5}{6}\pi$，所以$\alpha$的终边在第二象限.
(2)$\beta=\frac{4}{5}\pi=\frac{4\pi}{5}×(\frac{180}{\pi})^{\circ}=144^{\circ}$，设$\theta = k·360^{\circ}+144^{\circ}(k\in\mathbf{Z})$，因为$-360^{\circ}\leqslant\theta＜360^{\circ}$，所以$-360^{\circ}\leqslant k·360^{\circ}+144^{\circ}＜360^{\circ}$，所以$k = -1$或$k = 0$，所以在$-360^{\circ}\sim360^{\circ}$内与$\beta$终边相同的角是$-216^{\circ}$，$144^{\circ}$.

1.若$\frac{\alpha}{3}=2k\pi +\frac{\pi}{3}(k\in \mathbf{Z})$，则$\frac{\alpha}{2}$的终边在 (D)

A.第一象限
B.第四象限
C.$x$轴上
D.$y$轴上

答案： 1.D $\because\alpha = 2k\pi+\frac{\pi}{3}(k\in\mathbf{Z})$，$\therefore\frac{\alpha}{2}=k\pi+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbf{Z})$，$\frac{\alpha}{2}=3k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$.当$k$为奇数时，$\frac{\alpha}{2}$的终边在$y$轴的非正半轴上；当$k$为偶数时，$\frac{\alpha}{2}$的终边在$y$轴的非负半轴上.综上，$\frac{\alpha}{2}$终边在$y$轴上，故选D.

2.若角$\alpha$与角$x +\frac{\pi}{4}$有相同的终边，角$\beta$与角$x -\frac{\pi}{4}$有相同的终边，那么$\alpha$与$\beta$间的关系为 (D)

A.$\alpha +\beta =0$
B.$\alpha -\beta =0$
C.$\alpha +\beta =2k\pi(k\in \mathbf{Z})$
D.$\alpha -\beta =2k\pi +\frac{\pi}{2}(k\in \mathbf{Z})$

答案： 2.D $\because\alpha = x+\frac{\pi}{4}+2k_{1}\pi(k_{1}\in\mathbf{Z})$，$\beta = x-\frac{\pi}{4}+2k_{2}\pi(k_{2}\in\mathbf{Z})$，$\therefore\alpha - \beta=\frac{\pi}{2}+2(k_{1}-k_{2})·\pi(k_{1}\in\mathbf{Z},k_{2}\in\mathbf{Z})$. $\because k_{1}\in\mathbf{Z}$，$k_{2}\in\mathbf{Z}$，$\therefore k_{1}-k_{2}\in\mathbf{Z}$. $\therefore\alpha - \beta=\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$.