《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

3. (多选) 在$\triangle ABC$中,$\overrightarrow{BP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{BQ} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$,以下结论正确的是 (ABD)

A.$\frac{S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{3}$
B.$\frac{S_{\triangle QBC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{4}$
C.$\frac{S_{\triangle PAC}}{S_{\triangle QAC}} = \frac{3}{4}$
D.$\frac{S_{\triangle QAC}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{5}{12}$

答案：
3.ABD 由$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，两边同时乘以$\frac{12}{7}$，得$\frac{12}{7}\overrightarrow{BP}=\frac{4}{7}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{7}\overrightarrow{BC}$，令$\overrightarrow{BM}=\frac{4}{7}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{7}\overrightarrow{BC}$，则$\frac{4}{7}\overrightarrow{BM}-\frac{4}{7}\overrightarrow{BA}=\frac{3}{7}\overrightarrow{BC}-\frac{3}{7}\overrightarrow{BM}$，即有$4\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{MC}$，因此$\overrightarrow{MC}=\frac{4}{7}\overrightarrow{AC}$，点$M$在$AC$上，且$\overrightarrow{BP}=\frac{7}{12}\overrightarrow{BM}$，
　　　　　
所以$S_{\triangle PBC}=\frac{7}{12}S_{\triangle MBC}$，$S_{\triangle MBC}=\frac{4}{7}S_{\triangle ABC}$，$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，则$S_{\triangle PBC}:S_{\triangle ABC}=1:3$；同理$\overrightarrow{BQ}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，两边同时乘以$\frac{12}{7}$得：$\frac{12}{7}\overrightarrow{BQ}=\frac{3}{7}\overrightarrow{BA}+\frac{4}{7}\overrightarrow{BC}$，令$\overrightarrow{BN}=\frac{3}{7}\overrightarrow{BA}+\frac{4}{7}\overrightarrow{BC}$，点$N$在$AC$上，$\overrightarrow{NC}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BQ}=\frac{7}{12}\overrightarrow{BN}$，所以$S_{\triangle QBC}=\frac{7}{12}S_{\triangle NBC}$，$S_{\triangle NBC}=\frac{3}{7}S_{\triangle ABC}$，$S_{\triangle QBC}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$，则$S_{\triangle QBC}:S_{\triangle ABC}=1:4$；$\overrightarrow{BP}=\frac{7}{12}\overrightarrow{BM}$，$S_{\triangle PAC}=\frac{5}{12}S_{\triangle BAC}$，$\overrightarrow{BQ}=\frac{7}{12}\overrightarrow{BN}$，$S_{\triangle QAC}=\frac{5}{12}S_{\triangle BAC}$，所以$S_{\triangle PAC}:S_{\triangle QAC}=1:1$，$S_{\triangle QAC}:S_{\triangle ABC}=5:12$.故选ABD.

4. (多选) 生于瑞士的数学巨星欧拉在 1765 年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理.在$\triangle ABC$中,$O,H,G$分别是外心、垂心和重心,$D$为$BC$边的中点,下列四个选项中正确的是 (ABCD)

A.$\overrightarrow{GH} = 2\overrightarrow{OG}$
B.$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 0$
C.$\overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{OD}$
D.$S_{\triangle ABG} = S_{\triangle BCG} = S_{\triangle ACG}$

答案：
4.ABCD 在$\triangle ABC$中，$O,H,G$分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示
对于B选项，根据三角形的重心性质可得$G$为$AD$的三等分点，且$\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GD}$，又$D$为$BC$的中点，所以$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GD}$，所以$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GD}+2\overrightarrow{GD}=0$，故选项B正确；
对于A与C选项，因为$O$为$\triangle ABC$的外心，$D$为$BC$的中点，
　　　　　　　　　　
所以$OD\perp BC$，所以$AH// OD$，$\therefore\triangle AHG\sim\triangle DOG$，$\therefore\frac{GH}{OG}=\frac{AH}{OD}=\frac{AG}{DG}=2$，$\therefore GH=2OG$，$AH=2OD$，故选项A、C正确；
对于D，过点$G$作$GE\perp BC$，垂足为$E$，$\therefore\triangle DEG\sim\triangle DNA$，则$\frac{GE}{AN}=\frac{DG}{DA}=\frac{1}{3}$，$\therefore\triangle BGC$的面积为$S_{\triangle BGC}=\frac{1}{2}× BC× GE=\frac{1}{2}× BC×\frac{1}{3}× AN=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$；同理，$S_{\triangle AGC}=S_{\triangle AGB}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，选项D正确.故选ABCD.

5. 已知在$\triangle ABC$所在的平面内有一点$P$,满足$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{AB}$,则$\triangle PBC$与$\triangle ABC$的面积之比是2:3.

答案： 5.$2:3$ 因为$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AP}$，所以点$P$在边$CA$上，且是靠近点$A$一侧的三等分点，所以$\triangle PBC$和$\triangle ABC$的面积之比为$2:3$.

6. 设点$O$在$\triangle ABC$的内部,点$D,E$分别为边$AC,BC$的中点,且$|\overrightarrow{OD} + 2\overrightarrow{OE}| = 1$,则$|\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}| =$2.

答案： 6.2 如题图所示，易知$|1\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}|=|1\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+2(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})|=|2\overrightarrow{OD}+4\overrightarrow{OE}|=2|\overrightarrow{OD}+2\overrightarrow{OE}|=2$.

7. 如图,已知$E,F,G,H$分别是四边形$ABCD$的边$AB$、$BC$、$CD$、$DA$的中点,用向量法证明:四边形$EFGH$是平行四边形.

答案： 7.【证明】在$\triangle BCD$中，$\because G,F$分别是$CD,CB$的中点，$\therefore\overrightarrow{CG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$.
$\therefore\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{CF}-\overrightarrow{CG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$.
同理$\overrightarrow{HE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}$.
$\therefore\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{HE}$，即$\overrightarrow{GF}$与$\overrightarrow{HE}$共线.
又$\because G,F,H,E$四点不在同一条直线上，$\therefore GF// HE$，且$GF=HE$.
$\therefore$四边形$EFGH$是平行四边形.

8. 在$\triangle ABC$中,点$P$是$AB$上一点,且$\overrightarrow{CP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$,$Q$是$BC$的中点,$AQ$与$CP$的交点为$M$,且$\overrightarrow{CM} = t\overrightarrow{CP}$,求$t$的值.

答案：
8.$\because\overrightarrow{CP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，$\therefore3\overrightarrow{CP}=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$，即$2\overrightarrow{CP}-2\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CP}$，$\therefore2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$，即$P$为$AB$的一个三等分点(靠近点$A$)，如图所示.
$\because A,M,Q$三点共线，
　　　　　　　　　
$\therefore$设$\overrightarrow{CM}=x\overrightarrow{CQ}+(1 - x)\overrightarrow{CA}=\frac{x}{2}\overrightarrow{CB}+(x - 1)\overrightarrow{AC}$，又$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$，$\therefore\overrightarrow{CM}=\frac{x}{2}\overrightarrow{AB}+(\frac{x}{2}-1)\overrightarrow{AC}$.
又$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CM}=t\overrightarrow{CP}$，$\therefore\frac{x}{2}\overrightarrow{AB}+(\frac{x}{2}-1)\overrightarrow{AC}=t(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})$.
$\therefore\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{t}{3}\frac{x}{2}-1=-t\end{cases}$，解得$t=\frac{3}{4}$