搜索
2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
3.(多选)圆的半径变为原来的 2 倍，弧长也增加到原来的 2 倍，则(
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的 4 倍
D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍
BC
)A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的 4 倍
D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍
答案：
3.BC $\alpha=\frac{l}{r}=\frac{2l}{2r}= \alpha$，故圆心角不变，由面积公式$S=\frac{1}{2}lr$知，扇形的面积增大到原来的4倍，故选BC.
4.(多选)下列转化结果正确的是 (
A.$67^{\circ}30'$化成弧度是$\frac{3\pi}{8}$
B.$-\frac{10\pi}{3}$化成角度是$-600^{\circ}$
C.$-150^{\circ}$化成弧度是$-\frac{7\pi}{6}$
D.$\frac{\pi}{12}$化成角度是$15^{\circ}$
ABD
)A.$67^{\circ}30'$化成弧度是$\frac{3\pi}{8}$
B.$-\frac{10\pi}{3}$化成角度是$-600^{\circ}$
C.$-150^{\circ}$化成弧度是$-\frac{7\pi}{6}$
D.$\frac{\pi}{12}$化成角度是$15^{\circ}$
答案：
4.ABD $67^{\circ}30'=67.5×\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{8}$，A正确；$-\frac{10\pi}{3}=-\frac{10\pi}{3}×\frac{180^{\circ}}{\pi}=-600^{\circ}$，B正确；$-150^{\circ}=-150×\frac{\pi}{180}=-\frac{5\pi}{6}$，C错误；$\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{12}×\frac{180^{\circ}}{\pi}=15^{\circ}$，D正确.故选ABD.
5.已知$\theta \in \{\alpha|\alpha =k\pi +(-1)^{k}· \frac{\pi}{4},k\in \mathbf{Z}\}$，则$\theta$的终边所在的象限是
第一或第二象限
.
答案：
5.第一或第二象限 当$k$为偶数时，$\alpha = 2m\pi+\frac{\pi}{4}(m\in\mathbf{Z})$，当$k$为奇数时，$\alpha=(2m - 1)\pi-\frac{\pi}{4}=2m\pi-\frac{5\pi}{4}(m\in\mathbf{Z})$，$\therefore\theta$的终边在第一或第二象限.
6.如图所示，已知一长为$\sqrt{3} dm$，宽为$1 dm$的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成$30^{\circ}$的角，则点$A$走过的路程是
$\frac{(9 + 2\sqrt{3})\pi}{6}$
$ dm$，走过的弧所对应的扇形的总面积是$\frac{7\pi}{4}$
$ dm^{2}$.
答案：
6.$\frac{(9 + 2\sqrt{3})\pi}{6}$ $\frac{7\pi}{4}$ $\widehat{AA_{1}}$所在的圆的半径是2，所对圆心角为$\frac{\pi}{2}$，$\widehat{A_{1}A_{2}}$所在的圆的半径是1，所对圆心角为$\frac{\pi}{2}$，$\widehat{A_{2}A_{3}}$所在的圆的半径是$\sqrt{3}$，所对圆心角是$\frac{\pi}{3}$
点$A$走过的路程是3段圆弧长之和，即$\frac{2\pi×2}{4}+\frac{1×\pi×2}{4}+\frac{2\sqrt{3}×\pi}{6}=\frac{(9 + 2\sqrt{3})\pi}{6}( dm)$；
3段弧所对应的扇形总面积为$\frac{\pi·2^{2}}{4}+\frac{\pi·1^{2}}{4}+\frac{\pi·(\sqrt{3})^{2}}{6}=\frac{7\pi}{4}( dm^{2})$.
点$A$走过的路程是3段圆弧长之和，即$\frac{2\pi×2}{4}+\frac{1×\pi×2}{4}+\frac{2\sqrt{3}×\pi}{6}=\frac{(9 + 2\sqrt{3})\pi}{6}( dm)$；
3段弧所对应的扇形总面积为$\frac{\pi·2^{2}}{4}+\frac{\pi·1^{2}}{4}+\frac{\pi·(\sqrt{3})^{2}}{6}=\frac{7\pi}{4}( dm^{2})$.
7. 已知一个扇形的周长为$12 cm$，当扇形的半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角.
答案：
7.设扇形的半径为$r$，圆心角为$\theta$，则扇形的弧长为$l = r\theta$，根据题意，扇形的周长$2r + l = 12$，解得$l = 12 - 2r$，所以扇形的面积$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}(12 - 2r)× r=-r^{2}+6r=-(r - 3)^{2}+9$，故当$r = 3$时，$S$取得最大值，此时$l = 12 - 2×3 = 6$，扇形的圆心角$\theta=\frac{l}{r}=\frac{6}{3}=2$.
8. 在一块顶角为$\frac{2\pi}{3}$、腰长为 2 的等腰三角形钢板废料$OAB$中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案.
(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
(2)比较两种方案中的扇形面积的大小.
(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；
(2)比较两种方案中的扇形面积的大小.
答案：
8.
(1)由题图①所示的方案，可得$\angle OAD=\frac{\pi}{6}$，$R_{1}=2$，所以扇形的周长为$C_{1}=2R_{1}+\frac{\pi}{6}× R_{1}=2×2+\frac{\pi}{3}=4+\frac{\pi}{3}$
由题图②所示的方案，可得$\angle MON=\frac{2\pi}{3}$，$R_{2}=1$，所以扇形的周长为$C_{2}=2R_{2}+\frac{2\pi}{3}× R_{2}=2×1+\frac{2\pi}{3}=2+\frac{2\pi}{3}$
所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为$\vert C_{1}-C_{2}\vert=\vert(4+\frac{\pi}{3})-(2+\frac{2\pi}{3})\vert=\vert2-\frac{\pi}{3}\vert=2-\frac{\pi}{3}$.
(2)题图①所示方案的扇形面积为$S_{1}=\frac{1}{2}\alpha R_{1}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{\pi}{6}×2^{2}=\frac{\pi}{3}$.题图②所示方案的扇形面积为$S_{2}=\frac{1}{2}\alpha R_{2}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{2\pi}{3}×1^{2}=\frac{\pi}{3}$
所以两种方案中的扇形面积一样大.
(1)由题图①所示的方案，可得$\angle OAD=\frac{\pi}{6}$，$R_{1}=2$，所以扇形的周长为$C_{1}=2R_{1}+\frac{\pi}{6}× R_{1}=2×2+\frac{\pi}{3}=4+\frac{\pi}{3}$
由题图②所示的方案，可得$\angle MON=\frac{2\pi}{3}$，$R_{2}=1$，所以扇形的周长为$C_{2}=2R_{2}+\frac{2\pi}{3}× R_{2}=2×1+\frac{2\pi}{3}=2+\frac{2\pi}{3}$
所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值为$\vert C_{1}-C_{2}\vert=\vert(4+\frac{\pi}{3})-(2+\frac{2\pi}{3})\vert=\vert2-\frac{\pi}{3}\vert=2-\frac{\pi}{3}$.
(2)题图①所示方案的扇形面积为$S_{1}=\frac{1}{2}\alpha R_{1}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{\pi}{6}×2^{2}=\frac{\pi}{3}$.题图②所示方案的扇形面积为$S_{2}=\frac{1}{2}\alpha R_{2}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{2\pi}{3}×1^{2}=\frac{\pi}{3}$
所以两种方案中的扇形面积一样大.
查看更多完整答案，请扫码查看
