《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 函数$f(x)=x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$是
(A)

A.奇函数
B.非奇非偶函数
C.偶函数
D.既是奇函数又是偶函数

答案： 1.A 函数$f(x)=x\sin(\frac{\pi}{2}-x)=x\cos x$，
∵$f(-x)=(-x)\cos(-x)=-x\cos x=-f(x)$，
且定义域为$R$，
∴$f(x)$是奇函数.

2. 当$x\in[0,2\pi]$时,满足$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\geq-\frac{1}{2}$的$x$的取值范围是
(C)

A.$\left[0,\frac{2\pi}{3}\right]$
B.$\left[\frac{4\pi}{3},2\pi\right]$
C.$\left[0,\frac{2\pi}{3}\right]\cup\left[\frac{4\pi}{3},2\pi\right]$
D.$\left[\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right]$

答案： 2.C 由诱导公式化简可得$\cos x\geqslant-\frac{1}{2}$，结合余弦函数的图象可知选C.

3. 已知函数$f(x)=\lg(2\cos x - 1)$,则函数$f(x)$的定义域为
(A)

A.$\left(2k\pi-\frac{\pi}{3},2k\pi+\frac{\pi}{3}\right),k\in\mathbf{Z}$
B.$\left[2k\pi-\frac{\pi}{3},2k\pi+\frac{\pi}{3}\right],k\in\mathbf{Z}$
C.$\left(2k\pi-\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{\pi}{6}\right),k\in\mathbf{Z}$
D.$\left[2k\pi-\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{\pi}{6}\right],k\in\mathbf{Z}$

答案： 3.A 由题意得$2\cos x - 1＞0$，即$\cos x＞\frac{1}{2}$，则$x\in(2k\pi-\frac{\pi}{3},2k\pi+\frac{\pi}{3})$，$k\in Z$.故选A.

4. 函数$y=\sin\left(2x+\frac{5\pi}{2}\right)$的一个对称中心是 (B)

A.$\left(\frac{\pi}{8},0\right)$
B.$\left(\frac{\pi}{4},0\right)$
C.$\left(-\frac{\pi}{3},0\right)$
D.$\left(\frac{3\pi}{8},0\right)$

答案： 4.B $y=\sin(2x+\frac{5\pi}{2})=\cos 2x$，对称中心是函数图象与$x$轴的交点，将四个点代入验证，只有$(\frac{\pi}{4},0)$符合要求，故选B.

5. 函数$y = \cos x+|\cos x|,x\in[0,2\pi]$的大致图象为 (D)

答案： 5.D $y = \cos x+|\cos x|=\begin{cases}2\cos x&x\in[0,\frac{\pi}{2}]\cup[\frac{3\pi}{2},2\pi]\\0&x\in[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\end{cases}$，故选D.

6. 方程$|x|=\cos x$在$(-\infty,+\infty)$内
(C)

A.没有根
B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根
D.有无穷多个根

答案：
6.C 在同一坐标系中作函数$y = |x|$及函数$y = \cos x$的图象，如图所示

发现有2个交点，所以方程$|x| = \cos x$有2个根.

7. 函数$y=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right),x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$的值域是$[-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]$.

答案： 7.$[-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]$ $0\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{2}$，$\frac{\pi}{6}\leqslant x+\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{2\pi}{3}$，$-\frac{1}{2}\leqslant\cos(x+\frac{\pi}{6})\leqslant\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以函数的值域为$[-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]$

8. 函数$y=\cos x$在区间$[-\pi,a]$上是增加的,则$a$的取值范围是$(-\pi,0]$.

答案： 8.$(-\pi,0]$
∵$y = \cos x$在$[-\pi,0]$上是增加的，在$[0,\pi]$上是减函数，
∴只有$-\pi ＜ a\leqslant0$时，满足已知条件，
∴$a\in(-\pi,0]$.

9. 函数$y=\sqrt{1-2\cos x}$的减区间为$[2k\pi-\pi,2k\pi-\frac{\pi}{3}](k\in Z)$.

答案： 9.$[2k\pi-\pi,2k\pi-\frac{\pi}{3}](k\in Z)$ 由已知得$1 - 2\cos x\geqslant0$，
∴$\cos x\leqslant\frac{1}{2}$，因此$y = \sqrt{1 - 2\cos x}$的减区间即为$y = \cos x$的增区间且$\cos x\leqslant\frac{1}{2}$，所以所求区间为$[2k\pi-\pi,2k\pi-\frac{\pi}{3}](k\in Z)$.

10. 若函数$f(x)=a - b\sin x$的最大值为$\frac{3}{2}$,最小值为$-\frac{1}{2}$,求函数$y = 1 - a\cos bx$的最值和周期.

答案： 10.①当$b＞0$时，若$\sin x = -1$，$f(x)_{\max}=\frac{3}{2}$；
若$\sin x = 1$，$f(x)_{\min}=-\frac{1}{2}$，
即$\begin{cases}a + b=\frac{3}{2}\\a - b=-\frac{1}{2}\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b = 1\end{cases}$.
此时$b = 1＞0$符合题意，所以$y = 1-\frac{1}{2}\cos x$.
②当$b = 0$时，$f(x)=a$，这与$f(x)$有最大值$\frac{3}{2}$，最小值$-\frac{1}{2}$矛盾，故$b = 0$不成立.
③当$b＜0$时，显然有
$\begin{cases}a - b=\frac{3}{2}\\a + b=-\frac{1}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=-1\end{cases}$，符合题意.
所以$y = 1-\frac{1}{2}\cos(-x)=1-\frac{1}{2}\cos x$.
综上可知，函数$y = 1-\frac{1}{2}\cos x$的最大值为$\frac{3}{2}$，最小值为$\frac{1}{2}$，周期为$2\pi$.