《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 如图,在平行四边形$ABCD$中,下列结论错误的是(C)


A.$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$
B.$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$
C.$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}$
D.$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} = 0$

答案： 1.C A项显然正确，由平行四边形法则知B正确;C项中$\overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{DB}$，故C错误;D项中$\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{CB}$ = $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{DA}$ = 0，故选C。

2. 如图,$D,E,F$是$\triangle ABC$的边$AB,BC,CA$的中点,则$\overrightarrow{AF} - \overrightarrow{DB} =$
(D)


A.$\overrightarrow{FD}$
B.$\overrightarrow{FC}$
C.$\overrightarrow{FE}$
D.$\overrightarrow{BE}$

答案： 2.D 由图可知，$\overrightarrow{AF}$ - $\overrightarrow{DB}$ = $\overrightarrow{AF}$ - $\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{DF}$ = $\overrightarrow{BE}$。

3. 已知$D,E,F$分别是$\triangle ABC$的边$AB,BC,CA$的中点,则
(A)


A.$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = 0$
B.$\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{DF} = 0$
C.$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CE} - \overrightarrow{CF} = 0$
D.$\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BE} - \overrightarrow{FC} = 0$

答案： 3.A

4. 若$D$为$\triangle ABC$的边$BC$的中点,则$\overrightarrow{AC} =$
(B)

A.$2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$
B.$2\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$
C.$2\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}$
D.$2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$

答案：
4.B 因为D为△ABC的边BC的中点，所以，根据向量加法法则得$\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{AB}$ = 2$\overrightarrow{AD}$，所以$\overrightarrow{AC}$ = 2$\overrightarrow{AD}$ - $\overrightarrow{AB}$。故选B。

5. $O$是四边形$ABCD$所在平面上任一点,$\overrightarrow{AB} // \overrightarrow{CD}$,且$|\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}|$,则四边形$ABCD$一定为 (D)

A.菱形
B.任意四边形
C.矩形
D.平行四边形

答案： 5.D 由$|\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}|$ = $|\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD}|$知$|\overrightarrow{BA}|$ = $|\overrightarrow{DC}|$，且$\overrightarrow{AB}$//$\overrightarrow{CD}$，故四边形ABCD是平行四边形。

6. 已知$\overrightarrow{OA} = a,\overrightarrow{OB} = b,\overrightarrow{OC} = c,\overrightarrow{OD} = d$,且四边形$ABCD$为平行四边形,则
(B)

A.$a + b + c + d = 0$
B.$a - b + c - d = 0$
C.$a + b - c - d = 0$
D.$a - b - c + d = 0$

答案：
6.B 如图，$\boldsymbol{a}$ - $\boldsymbol{b}$ = $\overrightarrow{OA}$ - $\overrightarrow{OB}$ = $\overrightarrow{BA}$，$\boldsymbol{c}$ - $\boldsymbol{d}$ = $\overrightarrow{OC}$ - $\overrightarrow{OD}$ = $\overrightarrow{DC}$，又四边形ABCD为平行四边形，则$\overrightarrow{BA}$ = $\overrightarrow{CD}$，即$\overrightarrow{BA}$ - $\overrightarrow{CD}$ = 0，所以$\overrightarrow{BA}$ + $\overrightarrow{DC}$ = 0，即$\boldsymbol{a}$ - $\boldsymbol{b}$ + $\boldsymbol{c}$ - $\boldsymbol{d}$ = 0。故选B。

7. 如图,已知$O$为平行四边形$ABCD$内一点,$\overrightarrow{OA} = a,\overrightarrow{OB} = b,\overrightarrow{OC} = c$,则$\overrightarrow{OD} =$$\boldsymbol{a}$ + $\boldsymbol{c}$ - $\boldsymbol{b}$.

答案： 7.$\boldsymbol{a}$ + $\boldsymbol{c}$ - $\boldsymbol{b}$ 由已知$\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{OD}$ = $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OC}$ - $\overrightarrow{OB}$ = $\boldsymbol{a}$ + $\boldsymbol{c}$ - $\boldsymbol{b}$。

8. 若向量$a,b$方向相反,且$|a| = |b| = 1$,则$|a - b| =$2.

答案： 8.2

9. 如图,在正六边形$ABCDEF$中,与$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CD}$相等的向量有①.
$①\overrightarrow{CF};②\overrightarrow{AD};③\overrightarrow{DA};④\overrightarrow{BE};⑤\overrightarrow{CE} + \overrightarrow{BC};⑥\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CD};$
$⑦\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}.$

答案： 9.①$\overrightarrow{OA}$ - $\overrightarrow{OC}$ + $\overrightarrow{CD}$ = $\overrightarrow{CA}$ + $\overrightarrow{CD}$ = $\overrightarrow{CF}$；$\overrightarrow{CE}$ + $\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{CE}$ = $\overrightarrow{BE}$ ≠ $\overrightarrow{CF}$；$\overrightarrow{CA}$ - $\overrightarrow{CD}$ = $\overrightarrow{DA}$ ≠ $\overrightarrow{CF}$；$\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AE}$ = $\overrightarrow{AD}$ ≠ $\overrightarrow{CF}$。

10. 如图,在五边形$ABCDE$中,若四边形$ACDE$是平行四边形,且$\overrightarrow{AB} = a,\overrightarrow{AC} = b,\overrightarrow{AE} = c$,试用$a,b,c$表示向量$\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{CD}$及$\overrightarrow{CE}$.

答案： 10.
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴$\overrightarrow{CD}$ = $\overrightarrow{AE}$ = $\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{AC}$ - $\overrightarrow{AB}$ = $\boldsymbol{b}$ - $\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{BE}$ = $\overrightarrow{AE}$ - $\overrightarrow{AB}$ = $\boldsymbol{c}$ - $\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{CE}$ = $\overrightarrow{AE}$ - $\overrightarrow{AC}$ = $\boldsymbol{c}$ - $\boldsymbol{b}$，
∴$\overrightarrow{BD}$ = $\overrightarrow{BC}$ + $\overrightarrow{CD}$ = $\boldsymbol{b}$ - $\boldsymbol{a}$ + $\boldsymbol{c}$。