《2025年单元质量达标七年级数学上册人教版》

21. （12分）（1）【问题发现】
数学小组遇到这样一个问题：若$a$，$b$均不为零，求$x = \frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b}$的值。
小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母$a$，$b$的正负作出讨论，又注意到$a$，$b$在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况。”
解：① 当$a$，$b$中有2个正数、0个负数时，$x = \frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} = 1 + 1 = 2$；
② 当$a$，$b$中有1个正数、1个负数时，无论谁正谁负，$x$都等于0；
③ 当$a$，$b$中有0个正数、2个负数时，$x = \frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} = -1 - 1 = -2$；
综上，当$a$，$b$均不为零，求得$x$的值为-2，0，2。
（2）【拓展探究】
若$a$，$b$，$c$均不为零，求$x = \frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} - \frac{|c|}{c}$的值。
（3）【问题解决】
若$a$，$b$，$c$均不为零，且$a + b + c = 0$，直接写出代数式$\frac{b + c}{|a|} + \frac{a + c}{|b|} + \frac{a + b}{|c|}$的值。

答案： 21.解：
(2)①当a，b，c都为正数时，$x=\frac{\vert a\vert}{a}+\frac{\vert b\vert}{b}+\frac{\vert c\vert}{c}=1 + 1-1=1。$②当a，b为正数，c为负数时，$x=\frac{\vert a\vert}{a}+\frac{\vert b\vert}{b}+\frac{\vert c\vert}{c}=1 + 1+1=3。$当a，c为正数，b为负数时，$x=\frac{\vert a\vert}{a}+\frac{\vert b\vert}{b}+\frac{\vert c\vert}{c}=1-1-1=-1。$当b，c为正数，a为负数时，$x=\frac{\vert a\vert}{a}+\frac{\vert b\vert}{b}+\frac{\vert c\vert}{c}=-1 + 1-1=-1。$③当a，b为负数，c为正数时，$x=\frac{\vert a\vert}{a}+\frac{\vert b\vert}{b}+\frac{\vert c\vert}{c}=-1-1-1=-3。$当a，c为负数，b为正数时，$x=\frac{\vert a\vert}{a}+\frac{\vert b\vert}{b}+\frac{\vert c\vert}{c}=-1 + 1+1=1。$当b，c为负数，a为正数时，$x=\frac{\vert a\vert}{a}+\frac{\vert b\vert}{b}+\frac{\vert c\vert}{c}=1-1+1=1。$④当a，b，c都为负数时，$x=\frac{\vert a\vert}{a}+\frac{\vert b\vert}{b}+\frac{\vert c\vert}{c}=-1-1+1=-1。$综上所述，$x=\frac{\vert a\vert}{a}+\frac{\vert b\vert}{b}+\frac{\vert c\vert}{c}$的值为1，3，-3，-1。
(3)因为a，b，c均不为零，且a+b+c=0，所以a，b，c为两正一负或两负一正。所以①当a，b，c为两正一负时，$\frac{b + c}{\vert a\vert}+\frac{a + c}{\vert b\vert}+\frac{a + b}{\vert c\vert}=\frac{a}{ \vert a\vert}+\frac{b}{\vert b\vert}-\frac{c}{\vert c\vert}=-1-1 + 1=-1。$②当a，b，c为两负一正时，$\frac{b + c}{\vert a\vert}+\frac{a + c}{\vert b\vert}+\frac{a + b}{\vert c\vert}=\frac{a}{\vert a\vert}-\frac{b}{\vert b\vert}-\frac{c}{\vert c\vert}=1 + 1-1=1。$综上所述，$\frac{b + c}{\vert a\vert}+\frac{a + c}{\vert b\vert}+\frac{a + b}{\vert c\vert}$的值为-1，1。