《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

9. 如图，若角α的终边落在阴影部分，则角α/2的终边可能在
(AC)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 9. AC 依题意，得$k · 360^{\circ}+40^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant k · 360^{\circ}+140^{\circ}$，$k \in \mathbf{Z}$，所以$k · 180^{\circ}+20^{\circ} \leqslant \frac{\alpha}{2} \leqslant k · 180^{\circ}+70^{\circ}$，$k \in \mathbf{Z}$.当$k$为偶数时，$\frac{\alpha}{2}$的终边在第一象限；当$k$为奇数时，$\frac{\alpha}{2}$的终边在第三象限.

10. [教材P161练习题第7题改编]在与角10030°终边相同的角中，最大的负角是-50°，最小的正角是310°.

答案： 10. $-50^{\circ}$ $310^{\circ}$ 与$10030^{\circ}$终边相同的角的一般形式为$\beta=k · 360^{\circ}+10030^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$，由$-360^{\circ}＜k · 360^{\circ}+10030^{\circ}＜0^{\circ}$，得$-10390^{\circ}＜k · 360^{\circ}＜-10030^{\circ}$，解得$k=-28$，故所求的最大负角为$\beta=-50^{\circ}$；由$0^{\circ}＜k · 360^{\circ}+10030^{\circ}＜360^{\circ}$，得$-10030^{\circ}＜k · 360^{\circ}＜-9670^{\circ}$，解得$k=-27$，故所求的最小正角为$\beta=310^{\circ}$.

11. 终边在直线y = x上的角α构成的集合可以表示为{α|α=k·180°+45°,k∈Z}.

答案： 11. $\{\alpha \mid \alpha=k · 180^{\circ}+45^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$ 因为角$\alpha$的终边在直线$y=x$上，所以角$\alpha$的终边在第一、三象限的平分线上，即$\{\alpha \mid \alpha=k · 360^{\circ}+45^{\circ},k \in \mathbf{Z}\} \cup \{\alpha \mid \alpha=k · 360^{\circ}+225^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}=\{\alpha \mid \alpha=k · 180^{\circ}+45^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$.

12. 如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从A(1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知点P在1s内转过的角度为θ(0° ＜ θ ＜ 180°)，经过2s到达第三象限，经过14s后又回到了出发点A处，则θ =_.

答案： 12. $\frac{720^{\circ}}{7}$或$\frac{900^{\circ}}{7}$ 因为$0^{\circ}＜\theta＜180^{\circ}$，且$k · 360^{\circ}+180^{\circ}＜2\theta＜k · 360^{\circ}+270^{\circ}$，$k \in \mathbf{Z}$，所以一定有$k=0$，于是$90^{\circ}＜\theta＜135^{\circ}$.又$14\theta=n · 360^{\circ}(n \in \mathbf{Z})$，所以$\theta=\frac{n · 180^{\circ}}{7}$，从而$90^{\circ}＜\frac{n · 180^{\circ}}{7}＜135^{\circ}$，所以$\frac{7}{2}＜n＜\frac{21}{4}$，所以$n=4$或$5$.当$n=4$时，$\theta=\frac{720^{\circ}}{7}$；当$n=5$时，$\theta=\frac{900^{\circ}}{7}$.综上，$\theta=\frac{720^{\circ}}{7}$或$\frac{900^{\circ}}{7}$.

13. 已知角α = 2017°.
(1) 把α改写成k·360° + β (k ∈ Z, 0° ≤ β ＜ 360°)的形式，并指出它是第几象限的角；
(2) 求θ，使θ与α终边重合，且-360° ≤ θ ＜ 720°.

答案： 13. 解：
(1)由$2017^{\circ}$除以$360^{\circ}$，得商为$5$，余数为$217^{\circ}$，所以取$k=5$，$\beta=217^{\circ}$，得$\alpha=5 × 360^{\circ}+217^{\circ}$.又$\beta=217^{\circ}$是第三象限的角，$\alpha$，$\beta$终边相同，所以$\alpha$为第三象限的角.
(2)与$2017^{\circ}$终边重合的角为$k · 360^{\circ}+2017^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$.令$-360^{\circ} \leqslant k · 360^{\circ}+2017^{\circ}＜720^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$，解得$-6\frac{217}{360} \leqslant k＜-3\frac{217}{360}(k \in \mathbf{Z})$，所以$k=-6$，$-5$，$-4$.当$k=-6$时，$\theta=-6 × 360^{\circ}+2017^{\circ}=-143^{\circ}$；当$k=-5$时，$\theta=-5 × 360^{\circ}+2017^{\circ}=217^{\circ}$；当$k=-4$时，$\theta=-4 × 360^{\circ}+2017^{\circ}=577^{\circ}$.所以$\theta=-143^{\circ}$，$217^{\circ}$，$577^{\circ}$.

(1) 时间经过4h(时)，时针、分针各转了多少度？
(2) 有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次，你认为这种说法是否正确？请说明理由.
(提示：从午夜零时算起)

答案： [探究拓展] 解：
(1)因为时间经过$12$小时，时针正好顺时针转过一圈，所以每经过$1$小时，时针转过的角度为$-\frac{360^{\circ}}{12}=-30^{\circ}$.因此，时间经过$4$h，时针转过的角度为$-30^{\circ} × 4=-120^{\circ}$.因为分针每经过$1$小时，顺时针转过一圈，所以分针每经过$1$小时转过的角度为$-360^{\circ}$.因此，时间经过$4$h，分针转过的角度为$4 × (-360^{\circ})=-1440^{\circ}$.
(2)设经过$t$ min分针就与时针重合，$n$为两针重合的次数.因为分针每分钟旋转的角度为$\frac{360^{\circ}}{60}=6^{\circ}$，时针每分钟旋转的角度为$\frac{360^{\circ}}{12 × 60}=0.5^{\circ}$，所以$(6^{\circ}-0.5^{\circ})t=360^{\circ}n$，即$t=\frac{720}{11}n$.因为时针旋转一天所需的时间为$24 × 60 = 1440$min，所以$\frac{720n}{11} \leqslant 1440$，于是$n \leqslant 22$.又午夜零时时针与分针也重合，此时$t = 0$，$n = 0$，所以时针与分针一天内会重合$23$次.故钟的时针和分针一天内会重合$24$次的说法是错误的.