《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

1. 下列函数中，属于幂函数的是
(B)

A.$y = (2x)^2$
B.$y = \sqrt{x}$
C.$y = -\frac{1}{x}$
D.$y = 2^x$

答案： 1. B 由幂函数的定义可得选项B正确.

2. 已知幂函数$y = f(x)$的图象过点$(2,8)$，则$f(-3)$的值为
(B)

A.27
B.-27
C.$\frac{1}{27}$
D.$-\frac{1}{27}$

答案： 2. B 设$f(x)=x^{\alpha}$.因为幂函数$y = f(x)$的图象过点$(2,8)$，所以$f(2)=2^{\alpha}=8$，解得$\alpha = 3$，所以$f(x)=x^{3}$，故$f(-3)=(-3)^{3}=-27$.

3. 如图所示的曲线是幂函数$y = x^n$在第一象限的图象，已知$n$取±2，±$\frac{1}{2}$四个值，则对应于曲线$C_1,C_2,C_3,C_4$的$n$值依次为
(A)


A.2,$\frac{1}{2}$,$-\frac{1}{2}$,-2
B.$\frac{1}{2}$,$-\frac{1}{2}$,-2,2
C.$-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,-2,2
D.-2,-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,2

答案： 3. A 可在直线$x = 1$的右侧作一条垂直于$x$轴的直线，如$x = 2$.观察直线$x = 2$与各图象的交点，交点越高，其幂函数的$n$值越大.

4. 任意两个幂函数图象的交点个数情况是
(A)

A.最少1个，最多3个
B.最少1个，最多2个
C.最少0个，最多3个
D.最少0个，最多2个

答案： 4. A 因为将$y = x^{\alpha}$与$y = x^{3}$联立方程组，至少有一个解$\begin{cases}x = 1,\\y = 1,\end{cases}$所以两图象最少有$1$个交点$(1,1)$，最多有$3$个解，如$\begin{cases}y = x^{3}\\y = x\end{cases}$有$\begin{cases}x = 0,\\y = 0\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$或$\begin{cases}x = -1,\\y = -1\end{cases}3$个解，所以两函数的图象最多有$(0,0),(1,1),(-1,-1)3$个交点.

5. 设$a \in \{-2,-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1,2,3\}$，则使$f(x) = x^a$为奇函数且在$(0,+\infty)$上单调递减的$a$值的个数是
(A)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 5. A $\alpha＜0$，即$\alpha$的可能取值为$-2,-1,-\frac{1}{2}$.又$y = x^{\alpha}$为奇函数，当$\alpha = -2$时，$y = x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}$是偶函数；当$\alpha = -1$时，$y = x^{-1}=\frac{1}{x}$是奇函数；当$\alpha = -\frac{1}{2}$时，$y = x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{x}}$是非奇非偶函数，故满足题意的$\alpha$的值只有一个.

6. 下列幂函数满足“①$\forall x \in \mathbf{R},f(-x) = -f(x)$；②当$x \in (0,+\infty)$时，$f(x)$单调递增”的是
(B)

A.$f(x) = \sqrt{x}$
B.$f(x) = x^3$
C.$f(x) = x^{-1}$
D.$f(x) = x^2$

答案： 6. B 由①②可得$f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数且在$(0,+\infty)$上单调递增.对于A,$f(x)=\sqrt{x}$的定义域为$[0,+\infty)$，不可能为奇函数，故A错误.对于B,$f(x)=x^{3}$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$，故$f(x)=x^{3}$为奇函数.根据幂函数的性质可得$f(x)=x^{3}$在$(0,+\infty)$上单调递增，故B正确.对于C，根据幂函数的性质可得$f(x)=x^{-1}$在$(0,+\infty)$上单调递减，故C错误.对于D,$f(x)=x^{2}$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$，故$f(x)=x^{2}$为偶函数，故D错误.

7. 已知幂函数$f(x) = (2a - 1)x^{m^2 - 3m + 2}$，其中$a,m \in \mathbf{R}$，则下列说法正确的是
(ABC)

A.$a = 1$
B.$f(x)$的图象恒过定点$(1,1)$
C.当$m = 3$时，$y = f(x)$的图象关于$y$轴对称
D.当$\frac{1}{2} ＜ m ＜ 1$时，$f(2) ＜ f(1)$

答案： 7. ABC 因为$f(x)=(2a - 1)x^{m^{2}-3m + 2}$为幂函数，所以$2a - 1 = 1$，解得$a = 1$，故A正确；$f(x)=x^{m^{2}-3m + 2}$，故$f(x)$的图象恒过定点$(1,1)$，故B正确；当$m = 3$时，$f(x)=x^{2},f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$，所以$y = f(x)$为偶函数，则$y = f(x)$的图象关于$y$轴对称，故C正确；当$\frac{1}{2}＜m＜1$时，$m^{2}-3m + 2＞0$，则$f(x)$在$(0,+\infty)$上为增函数，所以$f(2)＞f(1)$，故D错误.