《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

1. 2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是
(D)

A.全体参赛国家
B.全体裁判员
C.全体荣获金牌的运动员
D.全体表现较好的运动员

答案： 1. D 根据集合中元素的确定性可以判断A,B,C中的团体能构成集合；对于D,“表现较好”没有明确的衡量标准，因此表现较好的运动员是不确定的，故不能构成集合.

2. 下列选项正确的是 (C)

A.{2,3} ≠ {3,2}
B.{(x,y)|x + y = 1} = {y|x + y = 1}
C.{x|x ＞ 1} = {y|y ＞ 1}
D.{(1,2)} = {(2,1)}

答案： 2. C $\{2,3\}=\{3,2\}$,故A错误；$\{(x,y)\mid x+y=1\}$中的元素为点$(x,y)$,$\{y\mid x+y=1\}$中的元素为实数$y$,$\{(x,y)\mid x+y=1\}\neq\{y\mid x+y=1\}$,故B错误；$\{(1,2)\}$中的元素为点$(1,2)$,而$\{(2,1)\}$中的元素为点$(2,1)$,$\{(1,2)\}\neq\{(2,1)\}$,故D错误.

3. 一次函数 y = x + 2 与 y = 2x - 1 的图象交点组成的集合是 (C)

A.{3,5}
B.{x = 3,y = 5}
C.{(3,5)}
D.{(5,3)}

答案： 3. C 由$\begin{cases}y=x+2,\\y=2x-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=3,\\y=5,\end{cases}$所以两函数图象交点组成的集合为$\{(3,5)\}$.

4. 集合 M = {(x,y)|xy ＞ 0,x + y ＜ 0,x ∈ R,y ∈ R} 表示的是 (C)

A.第一象限的点集
B.第二象限的点集
C.第三象限的点集
D.第四象限的点集

答案： 4. C 由$xy＞0,x+y＜0$得$x＜0,y＜0$,故集合$M$表示的是第三象限的点集.

5. 若集合 A = {-x,|x|},则 x 应满足 (A)

A.x ＞ 0
B.x ＜ 0
C.x = 0
D.x ≤ 0

答案： 5. A 由元素的互异性可知$|x|\neq -x$,所以$x＞0$.

6. (创新·新定义)若对任意 x ∈ A,1/x ∈ A,则称 A 为“影子关系”集合，下列为“影子关系”集合的是 (D)

A.{1,3}
B.{-1,0,1}
C.{x|x ＞ 1}
D.{x|x ＞ 0}

答案： 6. D 对于选项A,因为$3\in\{1,3\}$,但$\frac{1}{3}\notin\{1,3\}$,不符合题意,故A错误；对于选项B,因为$0\in\{-1,0,1\}$,但$\frac{1}{0}$无意义,不符合题意,故B错误；对于选项C,例如$2\in\{x\mid x＞1\}$,但$\frac{1}{2}\notin\{x\mid x＞1\}$,不符合题意,故C错误；对于选项D,对任意$x\in\{x\mid x＞0\}$,均有$\frac{1}{x}\in\{x\mid x＞0\}$,符合题意,故D正确.

7. 已知 x² ∈ {1,0,2x},则实数 x 的取值正确的有 (BCD)

A.0
B.1
C.-1
D.2

答案： 7. BCD 由已知$x^{2}\in\{1,0,2x\}$,则可能有以下几类情况：
(1)若$x^{2}=1$,则$x=\pm1$.当$x=1$时,$\{1,0,2x\}=\{1,0,2\}$,满足题意；当$x=-1$时,$\{1,0,2x\}=\{1,0,-2\}$,满足题意.
(2)若$x^{2}=0$,则$x=0$.此时$2x=0$,不符合集合中元素的互异性,不合题意.
(3)若$x^{2}=2x$,解得$x=0$(舍)或$x=2$.当$x=2$时,$\{1,0,2x\}=\{1,0,4\}$,满足题意.
综上所述,$x=-1,1,2$.

8. 由不超过5的实数组成集合 A,若 a = √2 + √3,则 (ACD)

A.a ∈ A
B.a² ∈ A
C.1/a ∈ A
D.a + 1 ∈ A

答案： 8. ACD 对于A,由$a=\sqrt{2}+\sqrt{3}＜\sqrt{4}+\sqrt{4}=4＜5$,所以$a\in A$,故A正确；对于B,由$a^{2}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}=5+2\sqrt{6}＞5$,所以$a^{2}\notin A$,故B错误；对于C,由$\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}＜5$,所以$\frac{1}{a}\in A$,故C正确；对于D,由$a+1=\sqrt{2}+\sqrt{3}+1＜\sqrt{4}+\sqrt{4}+1=4+1=5$,所以$a+1\in A$,故D正确.

9. 已知集合 A = {x|ax² + 2x + 1 = 0,a ∈ R},则下列说法错误的是 (ACD)

A.若 A 中只有一个元素，则 a = 1
B.若 A 中至少有一个元素，则 a ≤ 1
C.若 A 中至多有一个元素，则 a ≥ 1
D.若 A 中恰有两个元素，则 a ＜ 1

答案： 9. ACD 对于选项A,若A中只有一个元素,则方程$ax^{2}+2x+1=0$只有一个根或有两个相等实数根,当$a=0$时,原方程变为$2x+1=0$,此时$x=-\frac{1}{2}$,符合题意,当$a\neq0$时,方程$ax^{2}+2x+1=0$有两个相等实数根,所以$\begin{cases}a\neq0,\\\Delta=4 - 4a=0,\end{cases}$即$a=1$且$a\neq0$,所以若A中至少有一个元素,则$a\leq1$,故B正确.对于选项C,若A中至多有一个元素,即A中有一个元素或没有元素,当A中有一个元素时,由前面可知$a=0$或$a=1$;当A中没有元素时,即方程$ax^{2}+2x+1=0$无实根,所以$\begin{cases}a\neq0,\\\Delta=4 - 4a＜0,\end{cases}$即$a＞1$,所以若A中至多有一个元素,则$a=0$或$a\geq1$,故C错误.对于选项D,若A中恰有两个元素,则由前面可知$a＜1$且$a\neq0$,故D错误.
易错警示
(1)对于二次项含参的方程问题,要注意对参数是否为零进行讨论；
(2)根据集合元素的互异性,当方程有重根时,只能算一个元素.