《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

1. [2025 广东惠州期中]命题 p: ∀x＞1,x²−m＞1,则 ¬p 为
(A)

A.∃x＞1,x²−m≤1
B.∃x≤1,x²−m≤1
C.∀x＞1,x²−m≤1
D.∀x≤1,x²−m≤1

答案： 1.A 命题p为全称量词命题，则¬p：$∃x＞1,x^{2}-m≤1.$

2. [2025 江苏南京期末]已知{a,b}⊆{1,2,3,4},(a,b)∈{(x,y)|y²=x},则 a−b=
(B)

A.0
B.2
C.−2
D.0或2

答案： 2.B 当a=1时，由$(a,b)∈{(x,y)|y^{2}=x}$知，$b^{2}=1.$又b∈{1,2,3,4}，所以b=1，不满足集合元素的互异性；当a=2时，由$(a,b)∈{(x,y)|y^{2}=x}$知，$b^{2}=2，$又b∈{1,2,3,4}，无解；当a=3时，由$(a,b)∈{(x,y)|y^{2}=x}$知，$b^{2}=3，$又b∈{1,2,3,4}，无解；当a=4时，由$(a,b)∈{(x,y)|y^{2}=x}$知，$b^{2}=4，$又b∈{1,2,3,4}，所以b=2，所以a - b=2.综上，a - b=2.

3. [多选题,2025 湖北武汉期中]下列说法正确的是
(BD)

A.若集合 A={x|−1＜x≤3},则 ∁ᵣA={x|x＜−1或x＞3}
B.若集合 A={1,2,3,4},B={2,4,5,6,7},则 A∪B={1,2,3,4,5,6,7}
C.若集合 A={1,2,3},B={1,2,3,4,5},则 B⊆A
D.若集合 A={x|x＜0},B={x|x＜3},则 A∩B=A

答案： 3.BD 对于A，由补集的概念知$∁_{R}A={x|x≤ - 1或x＞3}，$故A错误；对于B，由并集的概念知A∪B={1,2,3,4,5,6,7}，故B正确；对于C，由子集的概念知集合A是B的子集，故C错误；对于D，由交集的概念知A∩B=A，故D正确.

4. [多选题,2025 河北沧州月考]若 M,N 是全集 I 的真子集,下面四个命题 m,n,s,t 是命题 p:M⊆N 的充要条件的有
(AC)
m:M∩N=M,n:M∪N=M,s:M∩(∁ᵢN)=∅,t:M∩N=I

A.m
B.n
C.s
D.t

答案：
4.AC 由M⊆N画Venn图如下图.

对于A,m：M∩N=M，易知M∩N=M等价于M⊆N，m是p的充要条件；对于B,n：M∪N=M，易知M∪N=M等价于N⊆M，n不是p的充要条件；对于C,s：$M∩(∁_{I}N)=∅，$易知$M∩(∁_{I}N)=∅$等价于M⊆N，s是p的充要条件；对于D,M,N是全集I的真子集，M∩N=I不成立，t不是p的充要条件.故是p的充要条件的有m,s.

5. [2025 山东菏泽一中月考]已知命题 p: ∃x∈R,mx²+1≤0;命题 q: ∀x∈R,x²+mx+1＞0.若 p,q 都是假命题,则实数 m 的取值范围是[2,+∞).

答案： 5.[2,+∞) 命题p的否定：$∀x∈R,mx^{2}+1＞0，$为真命题，当m=0时，恒成立，当m≠0时，可得m＞0，故m≥0.命题q的否定：$∃x∈R,x^{2}+mx+1≤0，$为真命题，所以$Δ=m^{2}-4≥0，$解得m≤ - 2或m≥2.综上，实数m的取值范围是[2,+∞).

6. 设 A 是自然数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k²∉A,且 √k ∉A,那么 k 是 A 的一个“酷元”.给定 S={x∈N|36−x²＞0},设 M⊆S,且集合 M 有两个元素,且这两个元素都是 M 的“酷元”,那么这样的集合 M 有5个.

答案： 6.5 由$36 - x^{2}＞0$解得 - 6＜x＜6.又x∈N，所以x可取0,1,2,3,4,5.由题意可知集合M不能含有0,1，也不能同时含有2,4，故集合M可以是{2,3},{2,5},{3,5},{3,4},{4,5}.