《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

10. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f[f(2)] =4.

答案： 10. 4　由函数$f(x)$的图象，可得$f(2)=0$，则$f[f(2)] = f(0)=4$。

11. 如图，二次函数y = ax² + bx + c(a ≠ 0)的图象经过点(-1,2)，且与x轴交点的横坐标分别为x₁, x₂，其中-2 ＜ x₁ ＜ -1, 0 ＜ x₂ ＜ 1，给出下列结论：①4a - 2b + c ＜ 0；②2a - b ＜ 0；③a ＜ -1；④b² + 8a ＜ 4ac.其中正确的结论有①②③(填写正确结论的序号).

答案： 11. ①②③　设$f(x)=ax^{2}+bx + c(a \neq 0)$，则$f( - 1)=a - b + c = 2$，所以$c = 2 + b - a$。由图可知$f( - 2)=4a - 2b + c ＜ 0$，①正确；由图可知$a ＜ 0$，对称轴为直线$x = - \frac{b}{2a}$，$- 1 ＜ - \frac{b}{2a} ＜ 0$，所以$2a - b ＜ 0$，②正确；由图可知$f(1)=a + b + c ＜ 0$，联立$\begin{cases}4a - 2b + c ＜ 0\\a + b + c ＜ 0\end{cases}$，将$c = 2 + b - a$代入上述不等式组得$\begin{cases}3a - b + 2 ＜ 0\\b + 1 ＜ 0\end{cases}$，两式相加得$3a + 3 ＜ 0$，解得$a ＜ - 1$，③正确；由图可知$f(-\frac{b}{2a})=\frac{4ac - b^{2}}{4a} ＞ 2$，所以$b^{2} + 8a ＞ 4ac$，④错误。
方法总结　研究函数的图象，一般可关注图象所经过的特殊点、图象相对于坐标轴的位置等，并同时将它们用相应的数学关系式表示出来。

12. 对于任意的实数x₁, x₂，min{x₁, x₂}表示x₁, x₂中较小的那个数.若函数f(x) = 2 - x²，g(x) = x，记h(x) = min{f(x), g(x)}，则当h(x) = 1时，x的值为1.

答案：
12. 1　当$2 - x^{2} ＞ x$，即$- 2 ＜ x ＜ 1$时，$h(x)=x$；当$2 - x^{2} \leq x$，即$x \geq 1$或$x \leq - 2$时，$h(x)=2 - x^{2}$，故$h(x)=\begin{cases}x, & - 2 ＜ x ＜ 1 \\2 - x^{2}, & x \geq 1或x \leq - 2\end{cases}$。由图象易知$h(x)=1$时，$x = 1$。

13. 画出二次函数f(x) = -x² + 2x + 3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1) 比较f(0), f(1), f(3)的大小；
(2) 若|x₁ - 1| ＞ |x₂ - 1|，比较f(x₁)与f(x₂)的大小关系；
(3) 求不等式xf(x) ＜ 0的解集.

答案：
13. 解：
(1)二次函数$f(x)= - x^{2} + 2x + 3$，即$f(x)= - (x - 1)^{2} + 4$的图象如图所示。由图象可知$f(1) ＞ f(0) ＞ f(3)$。
(2)函数图象的对称轴为直线$x = 1$，当$\vert x_{1} - 1\vert ＞ \vert x_{2} - 1\vert$时，根据函数的图象可知$f(x_{1}) ＜ f(x_{2})$。

(3)因为不等式$xf(x) ＜ 0$，所以当$x ＞ 0$时，$f(x) ＜ 0$，由图可知此时$x ＞ 3$；当$x ＜ 0$时，$f(x) ＞ 0$，由图可知此时$- 1 ＜ x ＜ 0$。所以不等式$xf(x) ＜ 0$的解集为$( - 1,0) \cup (3, + \infty)$。

已知函数f(x) = x² - 2x + 2，利用函数图象解决下列问题.
(1) 当x ∈ [0, +∞)时，方程f(x) = m有两个零点，求实数m的取值范围.
(2) 若函数f(x)在区间D上的值域也为D，则称函数f(x)具有较好的保值性，这个区间D称为保值区间，保值区间有三种形式：(-∞,m]，[m,n]，[m, +∞).试问f(x) = x² - 2x + 2是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间.

答案：
[探究拓展] 解：
(1)$f(x)=x^{2} - 2x + 2 = (x - 1)^{2} + 1$的图象如图所示。方程$f(x)=m$零点的个数可以看作函数$y = f(x)(x \in [0, + \infty))$的图象与函数$y = m$的图象的交点的个数。由它们的图象可得，当$1 ＜ m \leq 2$时，两个函数的图象有两个不同的交点。故当$x \in [0, + \infty)$，方程$f(x)=m$有两个零点时，实数$m$的取值范围是$(1,2]$。

(2)$f(x)$具有较好的保值性。
由$f(x)$的图象知$f(x)$的值域是$[1, + \infty)$。
当$x \in ( - \infty,m]$时，$f(x) \rightarrow + \infty$，不符合题意；
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当$x \in [m,n]$时，要使值域为$[m,n]$，则$\begin{cases}f(m) \geq m\\f(n) \leq n\end{cases}$，所以$m$，$n$是方程$x^{2} - 2x + 2 = x$的两个根，解得$m = 1$，$n = 2$，所以保值区间是$[1,2]$；
当$x \in [m, + \infty)$时，要使值域为$[m, + \infty)$，则$\begin{cases}f(m) = m\\m \geq 1\end{cases}$，解得$m = 1$或$m = 2$，所以保值区间是$[1, + \infty)$，$[2, + \infty)$。
综上，$f(x)=x^{2} - 2x + 2$具有较好的保值性，保值区间是$[1,2]$，$[1, + \infty)$，$[2, + \infty)$。