《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

6. 定义$\max\{a,b\}=\begin{cases}a,a\geqslant b,\\b,b ＞ a.\end{cases}$设函数 f(x)=x+1,g(x)=(x+1)²,记函数 F(x)=max{f(x),g(x)},且函数 F(x)在区间[m,n]上的值域为[0,1],则区间[m,n]的长度的最大值为 (D)

A.1
B.3
C. $\frac{7}{4}$
D.2

答案：
6.D令$f(x)\geq g(x)$，则$x + 1\geq(x + 1)^2$，解得$-1\leq x\leq0$，所以$F(x)=\max\{f(x),g(x)\}=\begin{cases}(x + 1)^2, x ＜ - 1 \\x + 1, - 1\leq x\leq0 \\(x + 1)^2, x ＞ 0\end{cases}$，则$F(x)$的图象如图：
　　　　　　　
又$F(0)=F(−2)=1$，$F(−1)=0$，且函数$F(x)$在区间$[m,n]$上的值域为$[0,1]$，当$n = 0$时，$-2\leq m\leq - 1$；当$m = - 2$时，$-1\leq n\leq0$，所以当$m = - 2$，$n = 0$时，区间$[m,n]$的长度取得最大值，最大值为2。
方法总结：从数的角度来研究本题比较抽象，为此，从函数的图象出发，可以快速、直观地解决问题。

7. 如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度 h和时间 t之间的关系,其中正确的有 (BCD)

答案： 7.BCD对于A，水面的高度$h$的增加应是均匀的，A错误；对于B，漏斗型下小上大，水面的高度$h$的增加越来越慢，B正确；对于C，球体中间最大，上下较小，水面的高度$h$的增加越来越慢，然后慢慢变快，C正确；对于D，上下大，中间小，水面的高度$h$的增加越来越快，然后慢慢变慢，D正确。

8. 函数$f(x)=\begin{cases}|x - 1|, & x ＜ 2, \\5 - x, & x\geq2\end{cases}$ f(a)=f(b)=f(c)(a＜b＜c),则 (BCD)

A.f(x)的值域为[0,+∞)
B.不等式 f(x)＜0的解集为(5,+∞)
C.0＜a＜1且 1＜b＜2
D.0＜f(c)＜1

答案：
8.BCD函数$f(x)=\begin{cases}|x - 1|, x ＜ 2 \\5 - x, x\geq2\end{cases}$的图象如图所示。
　　　　　
对于选项A，由图象可得函数的值域为$\mathbf{R}$，故选项A错误；对于选项B，由图象可得不等式$f(x)＜0$的解集为$(5, +\infty)$，故选项B正确；令$f(a)=f(b)=f(c)=t(a ＜ b ＜ c)$，则函数$f(x)$的图象与直线$y = t$有三个不同的交点，由图象可得$0 ＜ a ＜ 1 ＜ b ＜ 2$，$4 ＜ c ＜ 5$，$0 ＜ f(c) ＜ 1$，故选项C、D正确。

9. 给出下列有关函数的命题,其中正确的是 (ABD)

A. 已知函数$f(x)$满足$f(\frac{1}{2}x - 1)=2x - 5$，且$f(a)=6$，则$a = \frac{7}{4}$
B. 函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}+1,x\gt0, \\x + 1,x\leq0, \end{cases}$若$f(a)+f(1)=0$，则实数$a=-3$
C. 函数$f(x)$满足对任意的$x\in\mathbf{R}$，都有$f(\frac{1}{2}+x)+f(\frac{1}{2}-x)=2$成立，则$f(\frac{1}{8})+f(\frac{2}{8})+·s +f(\frac{7}{8})=8$
D. 若$y = f(x + 1)$的定义域是$[-2,3]$，则$y = f(2x - 1)$的定义域为$[0,\frac{5}{2}]$

答案： 9.ABD对于A，$f(\frac{1}{2}x - 1)=2x - 5$，令$2x - 5 = 6$，则$x=\frac{11}{2}$，故$a=\frac{1}{2}×\frac{11}{2}-1=\frac{7}{4}$，故A正确。对于B，$f(x)=\begin{cases}x^2 + 1, x ＞ 0 \\x + 1, x\leq0\end{cases}$，$f(1)=2$，故可得$f(a)= - 2$。若$a ＞ 0$，则$f(a)=a^2 + 1 = - 2$，该方程在实数范围内无解；若$a\leq0$，则$f(a)=a + 1 = - 2$，解得$a = - 3$，满足$a\leq0$。综上所述，$a = - 3$，故B正确。对于C，$f(\frac{1}{2}+x)+f(\frac{1}{2}-x)=2$对任意的$x\in\mathbf{R}$成立。令$x = 0$，可得$f(\frac{1}{2})=1$；令$x=\frac{1}{8}$，可得$f(\frac{5}{8})+f(\frac{3}{8})=2$；令$x=\frac{2}{8}$，可得$f(\frac{6}{8})+f(\frac{2}{8})=2$；令$x=\frac{3}{8}$，可得$f(\frac{7}{8})+f(\frac{1}{8})=2$。所以$f(\frac{1}{8})+f(\frac{2}{8})+·s+f(\frac{7}{8})=2 + 2 + 2 + 1 = 7$，故C错误。对于D，$y = f(x + 1)$的定义域是$[-2,3]$，故可得$x\in[-2,3]$，则$x + 1\in[-1,4]$，则在$y = f(2x - 1)$中，$2x - 1\in[-1,4]$，得$x\in[0,\frac{5}{2}]$，其定义域为$[0,\frac{5}{2}]$，故D正确。

10. 已知函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}+a,x\leqslant0,\\2^{x},x＞0,\end{cases}$ 若 f[f(-1)]=5,则 a= ______

答案： 10.$\log_25 - 1$或$-4$由题意知$f(−1)=(−1)^2 + a = 1 + a$。当$1 + a ＞ 0$，即$a ＞ - 1$时，有$f[f(−1)]=f(1 + a)=2^{1 + a}=5$，解得$a=\log_25 - 1$；当$1 + a\leq0$，即$a\leq - 1$时，有$f[f(−1)]=f(1 + a)=(a + 1)^2 + a=a^2 + 3a + 1 = 5$，解得$a = - 4$或$a = 1$(不合题意，舍去)。故$a=\log_25 - 1$或$-4$。

11. 如图所示,在平面直角坐标系 xOy中,□OABC的顶点 A在 x轴上,顶点 B的坐标为(6,4).若直线 l经过点(1,0),且将□OABC分割成面积相等的两部分,则直线 l的函数解析式是$y = x - 1$ .

答案：
11.$y = x - 1$设$D(1,0)$。因为直线$l$经过点$D(1,0)$，且将$□ OABC$分割成面积相等的两部分，所以$OD = BE = 1$，如图所示。
　　　　　　　
因为顶点$B$的坐标为$(6,4)$，所以$E(5,4)$，设直线$l$的函数解析式是$y = kx + b(k≠0)$。因为直线过$D(1,0)$，$E(5,4)$，所以$\begin{cases}k + b = 0 \\5k + b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1 \\b = - 1\end{cases}$，所以直线$l$的解析式为$y = x - 1$。
方法总结　本题的难点在于如何确定直线$l$的位置，使得它平分平行四边形的面积。