《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

1. 为了得到函数$y = \log_{2}\frac{x}{4}$的图象，只需把函数$y = \log_{2}x$的图象上所有的点向 (B)

A.上平移 2 个单位长度
B.下平移 2 个单位长度
C.左平移 2 个单位长度
D.右平移 2 个单位长度

答案： 1. B 因为$y = \log_2 \frac{x}{4} = \log_2 x - 2$，所以只需把函数$y = \log_2 x$的图象上所有的点向下平移2个单位长度即可得到函数$y = \log_2 \frac{x}{4}$的图象.

2. 如图，曲线是对数函数$y = \log_{a}x$的图象，已知$a$的取值分别为$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{2}{5}$，则曲线$C_{1}$，$C_{2}$，$C_{3}$，$C_{4}$对应的$a$的值依次为 (C)


A.$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$
C.$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{2}{5}$
D.$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{2}{5}$

答案： 2. C 取$y = 1$知$a = x$，直线$y = 1$与四条曲线交点的横坐标满足$x_1 ＞ x_2 ＞ x_3 ＞ x_4$，得$a_1 ＞ a_2 ＞ a_3 ＞ a_4$.故选项C符合.

3. 下列不等式成立的是 (B)

A.$\log_{0.3}0.2 ＜ 1$
B.$0.3^{0.2} ＜ 1$
C.$\log_{0.3}0.2 ＜ 0$
D.$0.2^{0.3} ＞ 1$

答案： 3. B 因为函数$y = \log_{0.3}x$在$(0, +\infty)$上单调递减，所以$\log_{0.3}0.2 ＞ \log_{0.3}0.3 = 1$，$\log_{0.3}0.2 ＞ \log_{0.3}1 = 0$，故A，C错误；因为函数$y = 0.3^x$在$\mathbf{R}$上单调递减，所以$0.3^{a^2} ＜ 0.3^0 = 1$，故B正确；因为函数$y = 0.2^x$在$\mathbf{R}$上单调递减，所以$0.2^{0.3} ＜ 0.2^0 = 1$，故D错误.

4. 若函数$f(x) = \log_{2}(x^{2} - ax - 3a)$在区间$(-\infty, -2]$上单调递减，则实数$a$的取值范围是 (A)

A.$[-4,4)$
B.$(-4,4]$
C.$(-\infty, -4)\cup[-2, +\infty)$
D.$(-\infty,4)$

答案： 4. A 由题意得$x^2 - ax - 3a ＞ 0$在区间$(-\infty, -2]$上恒成立且函数$y = x^2 - ax - 3a$在$(-\infty, -2]$上单调递减，则$\frac{a}{2} \geqslant -2$且$(-2)^2 - (-2) × a - 3a ＞ 0$，解得$a$的取值范围是$[-4,4)$.

5. 若函数$f(x) = \ln(\sqrt{x^{2} + 1} + kx)$是奇函数，则实数$k$的取值集合为 (D)

A.$\{-1\}$
B.$\{0\}$
C.$\{1\}$
D.$\{-1,1\}$

答案： 5. D $f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1} + kx)$是奇函数，故$f(-x) + f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1} - kx) + \ln(\sqrt{x^2 + 1} + kx) = \ln(x^2 + 1 - k^2x^2) = 0$，则$x^2 + 1 - k^2x^2 = 1$，$1 - k^2 = 0$，解得$k = \pm 1$，经验证符合题意.

6. 已知$f(x) = \ln(1 + x) + \ln(1 - x)$，若$f(2a - 1) ＜ f(-a)$，则实数$a$的取值范围是 (C)

A.$(-\infty, \frac{1}{3}) \cup (1, +\infty)$
B.$(-\infty,0) \cup (0, \frac{1}{3})$
C.$(0, \frac{1}{3})$
D.$(0,1)$

答案： 6. C 由题意，得$\begin{cases}1 + x ＞ 0, \\1 - x ＞ 0,\end{cases}$解得$-1 ＜ x ＜ 1$，函数$f(x)$的定义域为$(-1,1)$.又$f(-x) = \ln(1 - x) + \ln(1 + x) = f(x)$，所以函数$f(x)$是定义在$(-1,1)$上的偶函数.$f(x) = \ln(1 + x) + \ln(1 - x) = \ln(1 - x^2)$，所以$f(x)$在$[0,1)$上单调递减.又$f(2a - 1) ＜ f(-a)$，所以$\begin{cases} | - a | ＜ | 2a - 1 |, \\ | 2a - 1 | ＜ 1, \end{cases}$解得$0 ＜ a ＜ \frac{1}{3}$.

7. 已知$ab = 1$，$a ＞ 0$，且$a \neq 1$，函数$y = \log_{a}(-x)$与$y = b^{x}$的图象可能是 (BC)

答案： 7. BC 由$ab = 1,a ＞ 0$，且$a \neq 1$，则$b = \frac{1}{a}$，所以$y = (\frac{1}{a})^x$.若$0 ＜ a ＜ 1$，则$\frac{1}{a} ＞ 1$，所以函数$y = (\frac{1}{a})^x$的图象上升，即为增函数.又$y = \log_a x$单调递减，且函数$y = \log_a(-x)$与$y = \log_a x$的图象关于$y$轴对称，所以函数$y = \log_a(-x)$为增函数，选项B符合条件.若$a ＞ 1$，则$0 ＜ \frac{1}{a} ＜ 1$，函数$y = (\frac{1}{a})^x$的图象下降，即为减函数.又$y = \log_a x$单调递增，且函数$y = \log_a(-x)$与$y = \log_a x$的图象关于$y$轴对称，所以函数$y = \log_a(-x)$的图象下降，即为减函数，选项C符合条件.
方法总结 根据函数的解析式来识别函数的图象，通常有两种基本方法：一是定性法，即从函数的相关性质来判断；二是定量法，即通过特殊的函数值或相关的函数值来判断.

8. 关于函数$f(x) = |\ln|2 - x||$，下列描述正确的有 (ABD)

A.函数$f(x)$在区间$(1,2)$上单调递增
B.函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称
C.若$x_{1} \neq x_{2}$，且$f(x_{1}) = f(x_{2})$，则$x_{1} + x_{2} = 2$
D.函数$f(x)$的图象与$x$轴仅有两个交点

答案：
8. ABD 将函数$y = \ln x$在x轴下方的图象翻折到上方可得函数y = |$\ln x$|的图象，将y轴右侧的图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y = |$\ln$|x|| = |$\ln$| - x||的图象，再将此函数图象向右平移2个单位长度，可得函数y = |$\ln$| - (x - 2)|| = |$\ln$|2 - x||的图象，则函数f(x) = |$\ln$|2 - x||的图象如图所示.

由图可得函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，A正确；函数y = f(x)的图象关于直线x = 2对称，B正确；若$x_1 \neq x_2，$且$f(x_1) = f(x_2) = k，$若$x_1，$$x_2$是第一、二个或第三、四个交点，则$x_1 + x_2 \neq 2,4，$若$x_1，$$x_2$是第一、四个或第二、三个交点，则$x_1，$$x_2$关于直线x = 2对称，所以$x_1 + x_2 = 4，$C错误；函数f(x)的图象与x轴有且仅有两个交点，D正确.
方法总结 由函数y = f(x)的图象得到函数y = f(|x|)的图象，则需保留函数y = f(x)在y轴右侧的图象不变，擦掉函数y = f(x)在y轴左侧的图象，同时将函数y = f(x)在y轴右侧的图象翻到左侧，即“保右擦左、右翻左”的法则；而由函数y = f(x)的图象得到函数y = |f(x)|的图象，则需保留函数y = f(x)在x轴上方的图象不变，擦掉函数y = f(x)在x轴下方的图象，同时将函数y = f(x)在x轴下方的图象翻到上方，即“保上擦下、下翻上”的法则.